Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y $X$ el pie de la altura desde el vértice $A$. Dado un punto $P$ en $AX$, la recta $BP$ corta a $AC$ en $Y$ y la recta $CP$ corta a $AB$ en $Z$. Demostrar que $AX$ es la bisectriz del ángulo $\angle ZXY$.

Sea $ABC$ un triángulo y $B'$ el punto medio de $AC$. Tomamos un punto $P$ de forma que $B'$ es el punto medio de $GP$, siendo $G$ el baricentro de $ABC$. La paralela a $AC$ por $P$ corta a $BC$ en $X$, la paralela a $AB$ por $P$ corta a $AC$ en $Y$ y la paralela a $BC$ por $P$ corta a $AB$ en $Z$. Demostrar que $X$, $Y$ y $Z$ están alineados.

En un triángulo escaleno $ABC$ con incentro $I$, la recta $AI$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita en el punto $D$ y $J$ es el punto tal que $D$ es el punto medio de $IJ$. Se consideran puntos $E$ y $F$ en la recta $BC$ tales que $IE$ y $JF$ son perpendiculares a $AI$. Se consideran puntos $G$ en $AE$ y $H$ en $AF$ tales que $IG$ y $JH$ son perpendiculares a $AE$ y $AF$, respectivamente. Probar que $BG = CH$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y escaleno con incentro $I$ y ortocentro $H$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sobre la recta $AH$ se consideran puntos $D$ y $E$ tales que la recta $MD$ es paralela a $CI$ y $ME$ es perpendicular a $CI$. Demostrar que $AE = DH$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de una circunferencia $\Gamma$ y $r$ una recta. Dado un punto variable $P$ de $\Gamma$, se trazan las rectas $PA$ y $PB$, que cortan a $r$ en $C$ y $D$, respectivamente. Determinar dos puntos $M$ y $N$ de $r$ independientes de $P$ y tales que el producto $CM\cdot DM$ sea constante al variar $P$