Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijos de una circunferencia $\Gamma$ y $r$ una recta. Dado un punto variable $P$ de $\Gamma$, se trazan las rectas $PA$ y $PB$, que cortan a $r$ en $C$ y $D$, respectivamente. Determinar dos puntos $M$ y $N$ de $r$ independientes de $P$ y tales que el producto $CM\cdot DM$ sea constante al variar $P$

Sean $\Gamma$ una circunferencia de centro $O$, $AE$ un diámetro de $\Gamma$ y $B$ el punto medio de uno de los arcos $AE$ de $\Gamma$. El punto $D\neq E$ está sobre el segmento $OE$. El punto $C$ es tal que el cuadrilátero $ABCD$ es un paralelogramo con $AB$ paralelo a $CD$ y $BC$ paralelo a $AD$. Las rectas $EB$ y $CD$ se cortan en el punto $F$. La recta $OF$ corta al arco menor $EB$ de $\Gamma$ en el punto $I$. Demostrar que la recta $EI$ es la bisectriz del ángulo $BEC$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y sea $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $K$. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP$, $BP$ y $CP$ que cortan de nuevo a $K$ en $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Determinar el punto $P$ para que el triángulo $XYZ$ sea equilátero.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tal que existe una semicircunferencia con centro en $AB$ y tangente a los otros tres lados del cuadrilátero.

1. Demostrar que $AB=AD+BC$.
2. Calcular, en función de $x = AB$ e $y = CD$, el área máxima que puede alcanzar un cuadrilátero en estas condiciones.