Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un trapecio $ABCD$, con $AB$ paralelo a $CD$, está inscrito en una circunferencia fija y varía dejando también fijo el segmento $AC$. Si denotamos por $h$ a la distancia entre los puntos medios de $AC$ y $BD$ y por $k$ a la distancia entre los puntos medios de $AB$ y $CD$, demostrar que la razón entre $h$ y $k$ permanece constante.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $Q$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$. Sea $Q'$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los otros dos lados $BC$ y $DA$. Si $Q$ y $Q'$ tienen la misma área, demostrar que una de las dos diagonales de $ABCD$ lo divide en dos triángulos de la misma área.

Un polígono convexo de $n\geq 5$ lados se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demostrar que al menos dos de las piezas resultantes tienen distintas áreas.

Consideremos una cuerda $AB$ de una circunferencia con centro en un punto $O$. Sea $P$ un punto exterior a la circunferencia y $C$ un punto de la cuerda. Si la bisectriz de $\angle APC$ es perpendicular a $AB$ y está a distancia $d$ del punto $O$, demostrar que $BC=2d$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC=\angle ADE$ y $\angle AEC=\angle ADB$. Demostrar que $\angle BAC=\angle DAE$.