Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo de área $1$ y $D,E,F$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. Tomamos puntos $P,Q,R$ en los segmentos $BF,CD,AE$, respectivamente. ¿Cuál es el menor área posible para la intersección de los triángulos $DEF$ y $PQR$?

Tenemos un polígono convexo tal que ningún triángulo de área $1$ puede colocarse dentro de él, incluso tocando el borde. Demostrar que el polígono puede colocarse dentro de un triángulo de área $4$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en $C$. Consideremos puntos $D$ y $E$ en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $CD=CE$. Las perpendiculares a $AE$ por $C$ y $D$ cortan a $AB$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demostrar que $KL=LB$.

Sean $P$ un punto del lado $AB$ y $Q$ un punto del lado $BC$ de un cuadrado $ABCD$ tales que $BP=BQ$. Si $H$ es un punto del segmento $PC$ tal que $BHC$ es un ángulo recto, demostrar que $DHQ$ es un ángulo recto.

Se tiene un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $AB$ y $CD$ y dos circunferencias de radios $r$ y $R$ en su interior y tangentes exteriormente, de forma que $AD$ es tangente a la circunferencia de radio $r$ y $BC$ es tangente a la circunferencia de radio $R$. ¿Cuál es la menor longitud posible de $?