Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ en el que los tres lados tienen longitudes distintas. La recta $AI$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en el punto $D$. La circunferencia que pasa por los puntos $C$, $D$ e $I$ corta nuevamente a la recta $BI$ en el punto $K$. Demostrar que el triángulo $BKC$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo. La mediana y la bisectriz que pasan por el vértice $A$ cortan al lado $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. La perpendicular a $NA$ por $N$ corta a $MA$ y $BA$ en los puntos $Q$ y $P$, respectivamente, y sea $O$ el punto en el que la perpendicular a $BA$ por $P$ corta a $AN$. Demostrar que $QO$ y $BC$ son perpendiculares.

Hallar el mayor entero $n$ tal que existen $n+4$ puntos $A,B,C,D,X_1,X_2,\ldots,X_n$ en el plano, con $AB\neq CD$, que satisfacen que $ABX_i$ y $CDX_i$ son triángulos congruentes para todo $i\in\{1,2,\ldots,n\}$.

Consideremos dos $n$-gonos regulares congruentes $S$ y $T$ situados en el plano de forma que su intersección $S\cap T$ es un $2n$-gono, con $n\geq 3$. Si se pintan de rojo los lados de $S$ y de azul los lados de $T$, demostrar que la suma de las longitudes de los lados azules del polígono $S\cap T$ es igual a la suma de las longitudes de sus lados rojos.

Sean $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ dos circunferencias que se intersecan en $P$ y $Q$. La tangente común más cercana a $P$ de $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ toca a $\Gamma_1$ en $A$ y a $\Gamma_2$ en $B$. La tangente a $\Gamma_1$ en $P$ corta a $\Gamma_2$ en $C$, distinto de $P$, y la prolongación de $AP$ se encuentra con $BC$ en $R$. Demostrar que la circunferencia circunscrita al triángulo $PQR$ es tangente a $BP$ y a $BR$.