Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$, el ángulo $A$ es el doble del ángulo $B$, el ángulo $C$ es obtuso y las tres longitudes de los lados $a,b,c$ son enteros. Determinar razonadamente el mínimo perímetro que puede tener el triángulo.

Sea $ABC$ triángulo acutángulo en el plano. La circunferencia de diámetro $AB$ corta a la altura que pasa por $C$ en los puntos $M$ y $N$ y la circunferencia de diámetro $AC$ corta a la altura que pasa por $B$ en los puntos $P$ y $Q$. Demostrar que los puntos $M,N,P,Q$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyos lados cumplen las desigualdades $AB\lt AC\lt BC$. Si el punto $I$ es el centro de la circunferencia inscrita de $ABC$ y el punto $O$ es el centro de su circunferencia circunscrita, demostrar que la recta $IO$ corta a los segmentos $AB$ y $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Demostrar que los circuncentros de los triángulos $IAB$, $IBC$ e $ICA$ están sobre un círculo cuyo centro es el circuncentro de $ABC$.

Sea $M$ el punto medio del segmento $XY$. Los puntos $P$ y $Q$ están en una recta que pasa por $Y$ de forma que $Y$ queda entre $P$ y $Q$ en dicha recta y además $XQ=2MP$ y $\frac{1}{2}XY\lt MP\lt \frac{3}{2}XY$. Hallar el valor de $\frac{PY}{QY}$ para el que $PQ$ es mínimo.