Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el plano es el de ecuación $z=0$ y que uno de los vértices del cubo es $(0,0,0)$. Buscamos una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ formada por tres vectores $v_1,v_2,v_3$ con módulo $\ell$ (el lado del cubo) y cuyas terceras coordenadas son $1$, $2$ y $4$. Si los encontramos, entonces el origen junto con los puntos \[v_1,\quad v_2\quad v_1+v_2,\quad v_3,\quad v_3+v_1,\quad v_3+v_2,\quad v_3+v_2+v_1\] serán los vértices del cubo que buscamos. Veamos cómo construir estos vectores:

• En primer lugar, haciendo una rotación respecto del eje $OZ$ si es necesario e imponiendo que el módulo es $\ell$ y la tercera coordenada es $1$, podemos suponer que \[v_1=\left(\sqrt{l^2-1},0,1\right).\]
• El vector $v_2$ será de la forma $(x,y,2)$. El hecho de que tenga módulo $\ell$ y sea ortogonal a $v_1$ se traduce en las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+4=\ell^2,\\x\sqrt{\ell^2-1}+2=0.\end{array}\right.\] Este sistema puede resolverse fácilmente (nos quedamos con la solución positiva para $y$ ya que la negativa es simétrica respecto del plano $XZ$), con lo que queda \[v_2=\left(\frac{-2}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}},2\right).\]
• El vector $v_3$ será de la forma $(u,v,4)$. Imponer que $v_3$ sea ortogonal a $v_1$ y $v_2$ resulta en las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}u\sqrt{\ell^2-1}+4=0,\\\frac{-2u}{\sqrt{\ell^2-1}}+\frac{v\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}}+8=0.\end{array}\right.\]
Este sistema se resuelve fácilmente dando lugar a \[v_3=\left(\frac{-4}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{-8\ell}{\sqrt{\ell^2-1}\sqrt{\ell^2-5}},4\right).\] Imponiendo que el módulo de este vector sea igual a $\ell$, nos queda la ecuación \[|v_3|^2=\ell^2\ \Leftrightarrow\ \frac{\ell^2(21-\ell^2)}{\ell^2-5}=0,\] de donde se tiene claramente que $\ell=\sqrt{21}$.

De esta manera, los vértices del cubo que cumple el enunciado son \[(0,0,0),\quad \left(2\sqrt{5},0,1\right),\quad \left(\frac{-\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},2\right),\quad \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},3\right)\] \[\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},4\right),\quad \left(\frac{8\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},5\right),\quad \left(\frac{-3\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},6\right),\quad \left(\frac{7\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},7\right)\]

Nota. La solución dada es una forma sistemática de obtener un cubo que cumple las hipótesis, aunque hay otros cubos más sencillos que las cumplen (por ejemplo, tomando $v_1=(4,2,1)$ se simplifican un poco los cálculos, aunque a priori es difícil llegar a esta elección). Lo bueno de esta aproximación es que si el cubo no existiera, habríamos llegado a una contradicción.

Solución. Sean $R$ el radio de la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $R'$ el radio de la circunferencia circunscrita de su triángulo órtico. Por un lado, la desigualdad de Euler nos dice que $2r\leq R$ y $2\rho\leq R'$ y, por otro, el círculo de los nueve puntos nos dice que $R'=\frac{1}{2}R$ (ya que la circunferencia circunscrita al triángulo órtico es la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices los puntos medios de $ABC$. Con toda esta información, tenemos que \[\rho\leq\frac{1}{2}R'=\frac{1}{4}R=\frac{1}{4}=1-\frac{1}{3}\left(1+\frac{R}{2}\right)^2\leq 1-\frac{1}{3}(1+r)^2.\]

Solución. Para simplificar el problema, podemos llamar $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ a los lados de los cuadrados ya que su suma es $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$. También podemos suponer que $\sin(\theta)\geq\cos(\theta)$ ya que, en caso contrario, basta cambiar el orden de los cuadrados. Esto nos lleva a que $\theta$ se mueve en el intervalo $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$.

Ahora bien, es claro que la posición en que se deben colocar los dos cuadrados para que quepan en un menor rectángulo es con un lado del cuadrado menor contenido en un lado del cuadrado mayor. De esta forma, el área de dicho rectángulo de menor área en términos de $\theta$ está dada por la función $S:[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}$, donde \[S(\theta)=\sin(\theta)(\sin(\theta)+\cos(\theta)).\] El número $A$ que nos piden en el enunciado es el máximo de $S(\theta)$ cuando $\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Para ello, vemos que la derivada de $S$ está dada por \[S'(\theta)=\cos(2\theta)+\sin(2\theta).\] Dividiendo entre $\sin(2\theta)$, es fácil ver que $S'(\theta)=0$ si, y sólo si, $\tan(2\theta)=-1$, lo que nos lleva al único punto crítico $\theta=\frac{3\pi}{8}$. Además, la segunda derivada de $S$ cumple \[S''(\theta)=2\cos(2\theta)-2\sin(2\theta)\leq 0,\quad\text{para }\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}].\] Todo esto nos dice que $S$ es una función cóncava y, por tanto, su máximo está dado por \[A=S(\tfrac{3\pi}{8})=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\] (para calcular este último valor pueden ser útiles las fórmulas del seno y coseno del ángulo mitad).