Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un polígono convexo de $n\geq 5$ lados se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demostrar que al menos dos de las piezas resultantes tienen distintas áreas.

Consideremos una cuerda $AB$ de una circunferencia con centro en un punto $O$. Sea $P$ un punto exterior a la circunferencia y $C$ un punto de la cuerda. Si la bisectriz de $\angle APC$ es perpendicular a $AB$ y está a distancia $d$ del punto $O$, demostrar que $BC=2d$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC=\angle ADE$ y $\angle AEC=\angle ADB$. Demostrar que $\angle BAC=\angle DAE$.

Se tienen dos poligonales, con un número impar de lados cada una de ellas, de forma que no hay dos rectas coincidentes ni tres rectas concurrentes al considerar todas las prolongaciones de los lados. Demostrar que podemos elegir un lado de una de las poligonales y un lado de la otra poligonal de forma que sean lados opuestos de un cuadrilátero convexo.

Se construyen cuadrados $ABC'C'', BCA'A'', CAB'B''$ exteriormente sobre los lados de un triángulo $ABC$. La recta $A'A''$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $P'$, respectivamente. De forma similar, $B'B''$ corta a las rectas $BC$ y $BA$ en $Q$ y $Q'$, y la recta $C'C''$ corta a $$CA$ y $CB$ en $R4 y $R'$. Demostrar que los seis puntos $P,P',Q,Q',R,R'$ están sobre una misma circunferencia.