Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en $C$. Consideremos puntos $D$ y $E$ en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, tales que $CD=CE$. Las perpendiculares a $AE$ por $C$ y $D$ cortan a $AB$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente. Demostrar que $KL=LB$.

Sean $P$ un punto del lado $AB$ y $Q$ un punto del lado $BC$ de un cuadrado $ABCD$ tales que $BP=BQ$. Si $H$ es un punto del segmento $PC$ tal que $BHC$ es un ángulo recto, demostrar que $DHQ$ es un ángulo recto.

Se tiene un trapecio $ABCD$ con lados paralelos $AB$ y $CD$ y dos circunferencias de radios $r$ y $R$ en su interior y tangentes exteriormente, de forma que $AD$ es tangente a la circunferencia de radio $r$ y $BC$ es tangente a la circunferencia de radio $R$. ¿Cuál es la menor longitud posible de $?

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AD$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $P$. La circunferencia circunscrita del triángulo $EFP$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $Q$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$. Demostrar que $K$, $D$ y $Q$ están alineados.