Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una recta divide en dos partes iguales tanto al área como al perímetro de un triángulo dado. Probar que esta recta pasa por el incentro del triángulo. ¿Es cierto el recíproco?

Sean $M$, $N$ y $K$ los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ con los lados $AB$, $BC$ y $AC$, respectivamente. Si $Q$ es el centro de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los segmentos $MN$, $NK$ y $MK$, demostrar que $Q$ está alineado con el circuncentro y el incentro del triángulo $ABC$.

En un triángulo $ABC$ las longitudes de los lados $AC$ y $BC$ son distintas. Dado un punto $X$ en el interior del triángulo, consideramos los ángulos $\alpha=\angle CAB$, $\beta=\angle ABC$, $\varphi=\angle ACX$ y $\psi=\angle BCX$. Demostrar que el lugar geométrico de los puntos $X$ donde se da la igualdad \[\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha-\beta)}=\frac{\sin\varphi\sin\psi}{\sin(\varphi-\psi)}\] es la mediana del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $C$

Supongamos que dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en dos puntos $X$ e $Y$. Probar que existen cuatro puntos con la siguiente propiedad: cualquier circunferencia $\Gamma$ tangente interior a las dos dadas en puntos $A$ y $B$ y que corta al segmento $XY$ en los puntos $C$ y $D$ es tal que cada una de las rectas $AC$, $AD$, $BC$ y $BD$ pasa por uno de los cuatro puntos.

Sea $P$ un punto interior a un tetraedro regular $T$ de volumen uno. El tetraedro queda dividido en $14$ piezas por los cuatro planos que pasan por $P$ y son paralelos a cada una de sus caras. Si $\Omega$ es la unión de las piezas que no son tetraedros ni paralelepípedos, encontrar las cotas exactas entre las que se mueve el volumen de $\Omega$.