Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 290
En el plano se tienen un punto $P$ y un polígono $\Omega$ (no necesariamente convexo). Sea $\ell$ el perímetro de $\Omega$, $d$ la suma de las distancias desde $P$ a los vértices de $\Omega$ y $h$ la suma de las distancias de $P$ a las rectas que contienen a los lados de $\Omega$. Demostrar que $d^2-h^2\geq\frac{1}{4}\ell^2$.
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Problema 289
Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y supongamos que las rectas tangentes en $B$ y $A$ a su circunferencia circunscrita cortan a la tangente en $C$ en los puntos $T$ y $U$, respectivamente. Sean $P$ el punto de corte de las rectas $AT$ y $BC$ y $Q$ el punto medio de $AP$, $R$ el punto de corte de las rectas $BU$ y $CA$ y $S$ el punto medio de $BR$. Demostrar que $\angle ABQ=\angle BAS$ y determinar, en términos de las razones de las longitudes de los lados, los triángulos para los que dicho ángulo es máximo.
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Problema 287
Dado un punto $D$ interior al lado $BC$ del triángulo $ABC$, sea $X$ el otro punto de corte de la circunferencia circunscrita a $ABC$ con la recta $AD$ y sean $P$ y $Q$ los pies de las perpendiculares desde $X$ a las rectas $AB$ y $AC$, respectivamente. Demostrar que la recta $PQ$ es tangente a la circunferencia que tiene por diámetro $XD$ si, y sólo si, $AB=AC$.
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Problema 260
Dado un rectángulo $ABCD$ y un punto $P$ interior al rectángulo, demostrar que
\[PA^2+PC^2=PB^2+PD^2.\]
pistasolución 1info
Pista. ¿Cómo podemos aplicar el teorema de Pitágoras?
Solución. Sean $x$, $y$, $z$ y $w$ las longitudes de los segmentos que tienen a $P$ por extremo común y el otro extremo en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente, siendo perpendiculares a estos lados. En otras palabras, $x$, $y$, $z$ y $w$ son las distancias de $P$ a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. El teorema de Pitágoras nos asegura que
\begin{eqnarray*}
PA^2&=&w^2+x^2,\\
PB^2&=&x^2+y^2,\\
PC^2&=&y^2+z^2,\\
PD^2&=&z^2+w^2.\\
\end{eqnarray*}
Sumando convenientemente estas igualdades, deducimos que
\[PA^2+PC^2=x^2+y^2+z^2+w^2=PB^2+PD^2,\]
que es la igualdad que se pretende demostrar.
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Problema 257
Dado un rectángulo cualquiera en el plano, llamemos $A$ a su área y $p$ a su perímetro. Demostrar que
\[p^2\geq 16A.\]
¿Para qué rectángulos se tiene una igualdad?
pistasolución 1info
Pista. Expresa $A=xy$ y $p=2(x+y)$, siendo $x$ e $y$ las longitudes de los lados del rectángulo y manipula la desigualdad del enunciado.
Solución. Llamemos $x$ e $y$ a las longitudes de lados del rectángulo, con lo que tendremos que $A=xy$ y $p=2(x+y)$. Entonces se cumple que
\[p^2-16A=4(x+y)^2-16xy=4(x^2+y^2-2xy)=4(x-y)^2\geq 0,\]
de donde se deduce la desigualdad del enunciado. Además, para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $4(x-y)^2=0$, es decir, $x=y$. Por tanto, podemos decir que la igualdad se tiene si y sólo si el rectángulo es un cuadrado.
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