Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo, $H$ su ortocentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $J$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ son los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AD$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $P$. La circunferencia circunscrita del triángulo $EFP$ corta a $\Gamma$ de nuevo en $Q$. Sea $K$ el segundo punto de intersección de $JH$ con $\Gamma$. Demostrar que $K$, $D$ y $Q$ están alineados.

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\Gamma$. La recta paralela a $BC$ por $I$ corta a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PD$ y $QD$ cortan a $BC$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son semejantes.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente entre sí y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demostrar que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH=PD$. Demostrar que los puntos $B,D,O,P$ están sobre una misma circunferencia.