Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se tienen dos poligonales, con un número impar de lados cada una de ellas, de forma que no hay dos rectas coincidentes ni tres rectas concurrentes al considerar todas las prolongaciones de los lados. Demostrar que podemos elegir un lado de una de las poligonales y un lado de la otra poligonal de forma que sean lados opuestos de un cuadrilátero convexo.

Se construyen cuadrados $ABC'C'', BCA'A'', CAB'B''$ exteriormente sobre los lados de un triángulo $ABC$. La recta $A'A''$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $P'$, respectivamente. De forma similar, $B'B''$ corta a las rectas $BC$ y $BA$ en $Q$ y $Q'$, y la recta $C'C''$ corta a $$CA$ y $CB$ en $R4 y $R'$. Demostrar que los seis puntos $P,P',Q,Q',R,R'$ están sobre una misma circunferencia.

Demostrar que, en un heptágono regular $A_1A_2\ldots A_7$, se cumple que \[\frac{1}{A_1A_5}+\frac{1}{A_1A_3}=\frac{1}{A_1A_7}.\]

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C,M,N,D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E\neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F\neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$. Demostrar que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$.

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en el exterior de una esfera $S$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ de forma que $S$ está inscrita en el tetraedro $ABXY$. Demostrar que la suma de ángulos \[\angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX\] es independiente de la elección de $X$ e $Y$.