Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo, $I$ su incentro y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ el segundo punto de intersección de $AI$ con $\Gamma$. La recta paralela a $BC$ por $I$ corta a $AB$ y $AC$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Las rectas $PD$ y $QD$ cortan a $BC$ en $E$ y $F$, respectivamente. Demostrar que los triángulos $IEF$ y $ABC$ son semejantes.

Sea $A_1A_2A_3A_4$ un rectángulo y sean $S_1,S_2,S_3,S_4$ cuatro circunferencias dentro del rectángulo tales que $S_k$ y $S_{k+1}$ son tangentes externamente entre sí y ambas son tangentes al lado $A_kA_{k+1}$ para $k=1,2,3,4$, donde $A_5=A_1$ y $S_5=S_1$. Demostrar que $A_1A_2A_3A_4$ es un cuadrado.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ y circuncentro $O$. Sea $D$ la intersección de las rectas $AO$ y $BH$. Sea $P$ el punto del segmento $AB$ tal que $PH=PD$. Demostrar que los puntos $B,D,O,P$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean $M$ y $N$ los puntos de intersección de las rectas $BI$ y $CI$ con $\Gamma$. La paralela a $MN$ que pasa por $I$ corta a $AB$ en $P$ y a $AC$ en $Q$. Demostrar que la circunferencia que pasa por $B$, $N$ y $P$ tiene el mismo radio que la circunferencia que pasa por $C$, $M$ y $Q$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $N$ el punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ tal que $\angle NAC = \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$. Demostrar que los puntos $R$, $S$ y $T$ están alineados.