Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Sea $Q$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los lados $AB$ y $CD$. Sea $Q'$ el cuadrilátero que tiene por vértices los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ y los puntos medios de los otros dos lados $BC$ y $DA$. Si $Q$ y $Q'$ tienen la misma área, demostrar que una de las dos diagonales de $ABCD$ lo divide en dos triángulos de la misma área.

Un polígono convexo de $n\geq 5$ lados se corta a lo largo de todas sus diagonales. Demostrar que al menos dos de las piezas resultantes tienen distintas áreas.

Consideremos una cuerda $AB$ de una circunferencia con centro en un punto $O$. Sea $P$ un punto exterior a la circunferencia y $C$ un punto de la cuerda. Si la bisectriz de $\angle APC$ es perpendicular a $AB$ y está a distancia $d$ del punto $O$, demostrar que $BC=2d$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $\angle ABC=\angle ADE$ y $\angle AEC=\angle ADB$. Demostrar que $\angle BAC=\angle DAE$.

Se tienen dos poligonales, con un número impar de lados cada una de ellas, de forma que no hay dos rectas coincidentes ni tres rectas concurrentes al considerar todas las prolongaciones de los lados. Demostrar que podemos elegir un lado de una de las poligonales y un lado de la otra poligonal de forma que sean lados opuestos de un cuadrilátero convexo.