Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que, en un heptágono regular $A_1A_2\ldots A_7$, se cumple que \[\frac{1}{A_1A_5}+\frac{1}{A_1A_3}=\frac{1}{A_1A_7}.\]

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C,M,N,D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E\neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F\neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$. Demostrar que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$.

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en el exterior de una esfera $S$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ de forma que $S$ está inscrita en el tetraedro $ABXY$. Demostrar que la suma de ángulos \[\angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX\] es independiente de la elección de $X$ e $Y$.

Una circunferencia de radio $1$ está inscrita en un triángulo y también en un cuadrado. Demostrar que el área común al triángulo y al cuadrado es mayor o igual que $3.4$. ¿Podemos asegurar que sea mayor o igual que $3.5$?

Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígono regular de $n$ lados y sea $P$ un punto arbitrario del plano. Demostrar que si $n$ es par, podemos elegir los signos de forma que \[\pm\overrightarrow{PA_1}\pm\overrightarrow{PA_2}\pm\ldots\pm\overrightarrow{PA_n}=\overrightarrow{0}.\] Por el contrario, demostrar que, si $n$ es impar, entonces lo anterior es cierto solo para un número finito de puntos $P$ del plano.