Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ y sea $M$ el punto medio de $CD$. La circunferencia que pasa por $P$ y que es tangente a $CD$ en $M$, corta a $BD$ y a $AC$ en los puntos $Q$ y $R$, respectivamente. Se toma un punto $S$ sobre el segmento $BD$ de tal manera que $BS = DQ$. Por $S$ se traza una paralela a $AB$ que corta a $AC$ en un punto $T$. Demostrar que $AT = RC$.

Demostrar que en un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se cumple que \[AB\cdot BC\cdot CA+CD\cdot DA\cdot AC=BC\cdot CD\cdot DB+DA\cdot AB\cdot BD.\]

Sea $ABC$ un triángulo y $X$ el pie de la altura desde el vértice $A$. Dado un punto $P$ en $AX$, la recta $BP$ corta a $AC$ en $Y$ y la recta $CP$ corta a $AB$ en $Z$. Demostrar que $AX$ es la bisectriz del ángulo $\angle ZXY$.

Sea $ABC$ un triángulo y $B'$ el punto medio de $AC$. Tomamos un punto $P$ de forma que $B'$ es el punto medio de $GP$, siendo $G$ el baricentro de $ABC$. La paralela a $AC$ por $P$ corta a $BC$ en $X$, la paralela a $AB$ por $P$ corta a $AC$ en $Y$ y la paralela a $BC$ por $P$ corta a $AB$ en $Z$. Demostrar que $X$, $Y$ y $Z$ están alineados.

En un triángulo escaleno $ABC$ con incentro $I$, la recta $AI$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita en el punto $D$ y $J$ es el punto tal que $D$ es el punto medio de $IJ$. Se consideran puntos $E$ y $F$ en la recta $BC$ tales que $IE$ y $JF$ son perpendiculares a $AI$. Se consideran puntos $G$ en $AE$ y $H$ en $AF$ tales que $IG$ y $JH$ son perpendiculares a $AE$ y $AF$, respectivamente. Probar que $BG = CH$.