Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y circunferencia circunscrita $\Gamma$. Sean $M$ y $N$ los puntos de intersección de las rectas $BI$ y $CI$ con $\Gamma$. La paralela a $MN$ que pasa por $I$ corta a $AB$ en $P$ y a $AC$ en $Q$. Demostrar que la circunferencia que pasa por $B$, $N$ y $P$ tiene el mismo radio que la circunferencia que pasa por $C$, $M$ y $Q$.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $N$ el punto del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ tal que $\angle NAC = \angle BAM$. Sea $R$ el punto medio de $AM$, $S$ el punto medio de $AN$ y $T$ el pie de la altura desde $A$ al lado $BC$. Demostrar que los puntos $R$, $S$ y $T$ están alineados.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Sean $B'$ el simétrico de $B$ con respecto a la recta $AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se prolonga $BM$ más allá de $M$ hasta un punto $D$ de modo que $BD=AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz del ángulo $\angle MB'D$.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\ell$ la recta que pasa por los puntos medios de $AC$ y $BC$. Sea $E$ el simétrico del punto $D$ respecto a $\ell$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $ABC$ está sobre la recta $AE$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt BC$ y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $BF=BC=CE$, ambos ubicados en el mismo lado que $A$ respecto de $BC$. Sea $G$ la intersección de $BE$ con $CF$. Se toma un punto $H$ sobre la paralela a $AC$ por $G$ tal que $HG=AF$ (con $H$ en distinto lado que $C$ respecto de $BG$). Demostrar que $\angle EHG=\frac{1}{2}\angle BAC$.