Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Una circunferencia de radio $1$ está inscrita en un triángulo y también en un cuadrado. Demostrar que el área común al triángulo y al cuadrado es mayor o igual que $3.4$. ¿Podemos asegurar que sea mayor o igual que $3.5$?

Sea $A_1A_2\ldots A_n$ un polígono regular de $n$ lados y sea $P$ un punto arbitrario del plano. Demostrar que si $n$ es par, podemos elegir los signos de forma que \[\pm\overrightarrow{PA_1}\pm\overrightarrow{PA_2}\pm\ldots\pm\overrightarrow{PA_n}=\overrightarrow{0}.\] Por el contrario, demostrar que, si $n$ es impar, entonces lo anterior es cierto solo para un número finito de puntos $P$ del plano.

Un tablero de ajedrez $99\times 100$ está pintado de la forma usual con casillas alternas negras y blancas. ¿Qué fracción de la diagonal principal es negra? ¿Y si el tablero tiene dimensiones $99\times 101$?

Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran en el interior de un dodecágono convexo. Demostrar que si la suma de las distancias desde $A$ a cada vértice es $a$ y la suma de las distancias desde $B$ a cada vértice es $b$, entonces $|a-b|\lt 10\,AB$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB\neq AC$. Probar que sobre cada recta que pasar por $A$ existe a lo sumo un punto $X$ distinto de $A,B,C$ tal que $\angle ABX=\angle ACX$.