Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo en $B$. Sean $B'$ el simétrico de $B$ con respecto a la recta $AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se prolonga $BM$ más allá de $M$ hasta un punto $D$ de modo que $BD=AC$. Demostrar que $B'C$ es la bisectriz del ángulo $\angle MB'D$.

Dado un triángulo $ABC$, sean $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\ell$ la recta que pasa por los puntos medios de $AC$ y $BC$. Sea $E$ el simétrico del punto $D$ respecto a $\ell$. Demostrar que el circuncentro del triángulo $ABC$ está sobre la recta $AE$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt BC$ y sean $E$ y $F$ puntos en $AC$ y $AB$, respectivamente, tales que $BF=BC=CE$, ambos ubicados en el mismo lado que $A$ respecto de $BC$. Sea $G$ la intersección de $BE$ con $CF$. Se toma un punto $H$ sobre la paralela a $AC$ por $G$ tal que $HG=AF$ (con $H$ en distinto lado que $C$ respecto de $BG$). Demostrar que $\angle EHG=\frac{1}{2}\angle BAC$.

Sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita al triágulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$. La paralela por $P$ a la recta $AB$ corta a $BC$, $AC$ y $\gamma$ en los puntos $R$, $S$ y $T$, respectivamente. Se definen los puntos $K$ y $L$ como las intersecciones de $AP$ con $BT$ y $BS$ con $AR$. Demostrar que la recta $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y solo si $CS=PR$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ corta a $BC$ en $D$, a $\Gamma$ en $K$ (distinto de $A$) y a la tangente a $\Gamma$ por $B$ en $X$. Demostrar que $K$ es el punto medio de $AX$ si y solo si \[\frac{AD}{DC}=\sqrt{2}.\]