Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un tablero de ajedrez $99\times 100$ está pintado de la forma usual con casillas alternas negras y blancas. ¿Qué fracción de la diagonal principal es negra? ¿Y si el tablero tiene dimensiones $99\times 101$?

Dos puntos $A$ y $B$ se encuentran en el interior de un dodecágono convexo. Demostrar que si la suma de las distancias desde $A$ a cada vértice es $a$ y la suma de las distancias desde $B$ a cada vértice es $b$, entonces $|a-b|\lt 10\,AB$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB\neq AC$. Probar que sobre cada recta que pasar por $A$ existe a lo sumo un punto $X$ distinto de $A,B,C$ tal que $\angle ABX=\angle ACX$.

Dos circunferencias se cortan en los puntos $P$ y $Q$ y $A$ es un punto arbitrario de una de las circunferencias. Las rectas $AP$ y $AQ$ cortan a la otra circunferencia en $B$ y $C$, respectivamente.

1. Probar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es igual a la distancia entre los centros de los dos círculos.
2. Hallar el lugar geométrico del centro de dicha circunferencia circunscrita al mover $A$ en la circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Determinar el punto $P$ del lado $BC$ que minimiza el área de la intersección de los círculos circunscritos a los triángulos $ABP$ y $ACP$.