Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se construyen cuadrados $ABC'C'', BCA'A'', CAB'B''$ exteriormente sobre los lados de un triángulo $ABC$. La recta $A'A''$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en $P$ y $P'$, respectivamente. De forma similar, $B'B''$ corta a las rectas $BC$ y $BA$ en $Q$ y $Q'$, y la recta $C'C''$ corta a $$CA$ y $CB$ en $R4 y $R'$. Demostrar que los seis puntos $P,P',Q,Q',R,R'$ están sobre una misma circunferencia.

Demostrar que, en un heptágono regular $A_1A_2\ldots A_7$, se cumple que \[\frac{1}{A_1A_5}+\frac{1}{A_1A_3}=\frac{1}{A_1A_7}.\]

Sean $\Omega$ y $\Gamma$ circunferencias de centros $M$ y $N$, respectivamente, tales que el radio de $\Omega$ es menor que el radio de $\Gamma$. Supongamos que las circunferencias $\Omega$ y $\Gamma$ se cortan en dos puntos distintos $A$ y $B$. La recta $MN$ corta a $\Omega$ en $C$ y a $\Gamma$ en $D$, de forma que los puntos $C,M,N,D$ están sobre esa recta en ese orden. Sea $P$ el circuncentro del triángulo $ACD$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Omega$ en $E\neq A$. La recta $AP$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $F\neq A$. Sea $H$ el ortocentro del triángulo $PMN$. Demostrar que la recta paralela a $AP$ que pasa por $H$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BEF$.

Sean $A$ y $B$ puntos fijos en el exterior de una esfera $S$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ de forma que $S$ está inscrita en el tetraedro $ABXY$. Demostrar que la suma de ángulos \[\angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX\] es independiente de la elección de $X$ e $Y$.

Una circunferencia de radio $1$ está inscrita en un triángulo y también en un cuadrado. Demostrar que el área común al triángulo y al cuadrado es mayor o igual que $3.4$. ¿Podemos asegurar que sea mayor o igual que $3.5$?