Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Denotemos los vértices del pentágono por $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$ en orden cíclico, sus lados opuestos por $\ell_1,\ell_2,\ell_3,\ell_4,\ell_5$ y las diagonales paralelas a estos lados por $d_1,d_2,d_3,d_4,d_5$, respectivamente. Sea $P$ el punto de intersección de las diagonales $d_4$ y $d_1$. Observemos que los triángulos $A_1A_2P$ y $A_3A_5A_2$ son semejantes ya que tienen sus lados paralelos y el cuadrilátero $A_2A_3A_4P$ es un paralelogramo ya que tiene lados opuestos paralelos, de donde $A_2P=\ell_1$. Por tanto, la semejanza de triángulos nos dice que \[\frac{A_1A_2}{A_3A_5}=\frac{A_2P}{A_5A_2}\ \Longleftrightarrow\ \frac{\ell_4}{d_4}=\frac{\ell_1}{d_1}.\] Repitiendo el mismo argumento con los otros vértices obtenemos que que $\frac{\ell_1}{d_1}=\frac{\ell_2}{d_2}=\frac{\ell_3}{d_3}=\frac{\ell_4}{d_4}=\frac{\ell_5}{d_5}$.

Solución. Llamemos $ABCDE$ al pentágono y tracemos por $D$ una paralela a $CE$ y por $B$ una paralela a $AC$. Estas paralelas cortan a la recta que contiene a $AE$ en $D'$ y $B'$, respectivamente, como se muestra en la figura. Entonces, los triángulos $CDE$ y $CD'E$ tienen la misma área, así como los triángulos $ABC$ y $AB'C$. Por tanto, el área del pentágono $ABCDE$ es igual al área del triángulo $B'CD'$.

Nota. ¿Cuáles son los ángulos del triángulo construido? ¿Es equilátero?