Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los puntos $A$, $B$ y $C$ dividen a la circunferencia $\Omega$ en tres arcos. Sea $X$ un punto arbitrario sobre el arco $AB$ y sean $O_1$ y $O_2$ los incentros de los triángulos $ACX$ y $BCX$, respectivamente. Demostrar que las circunferencias circunscritas del triángulo $O_1O_2X$ pasa por un punto fijo de $\Omega$ que no depende de $X$.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno y denotemos por $G$, $I$ y $H$, respectivamente, su baricentro, incentro y ortocentro. Demostrar que el ángulo $\angle GIH$ es obtuso.

Sea $ABC$ un triángulo cuyos vértices tienen coordenadas enteras en el plano y sea $S$ el área de $ABC$. Demostrar que si $b+a^2<8S+1$, entonces $A$, $B$ y $C$ son vértices de un cuadrado.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero que admite circunferencia circunscrita y $E$, $F$ puntos variables en los lados $AB$ y $CD$, respectivamente, tales que $\frac{AE}{EB}=\frac{CF}{FD}$. Sea $P$ un punto del segmento $EF$ tal que $\frac{PE}{PF}=\frac{AB}{CD}$. Probar que la razón entre las áreas de los triángulos $APD$ y $BPC$ no depende de la elección de los puntos $E$ y $F$.

Dado un cuadrilátero $ABCD$, sabemos que las longitudes de sus lados y de sus diagonales son todas números racionales. Si llamamos $O$ al punto de intersección de dichas diagonales, demostrar que la longitud del segmento $AO$ también es racional.