Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La perpendicular por $X$ al lado $BC$ corta a este en un punto $R$ de forma que $P,Q,R$ están alineados (recta de Simpson del triángulo $ABC$, en rojo en la figura), es decir, $R$ es el punto de corte de $PQ$ y $BC$. El punto $R$ también se encuentra en la circunferencia de diámetro $XD$ (en azul en la figura) por ser $\angle DRX=90^\circ$. La recta $PQ$ es tangente a esta circunferencia si y sólo si es perpendicular al radio $OR$, siendo $OR$ su centro. Equivalentemente, será tangente cuando $\angle PRB+\angle BRO=90^\circ$. Vamos a calcular estos dos ángulos en función de los ángulos de $ABC$.

Por un lado, tenemos que \[\angle PRB=\angle PXB=90^\circ-\angle PBX=90^\circ-\angle ABC-\angle CBX=90^\circ-\angle ABC-\angle CAX,\] donde hemos usado que los cuadriláteros $ABXC$ y $BPRX$ son cíclicos ($BPRX$ es cíclico por ser $\angle BPX=\angle BRX=90^\circ$, ver circunferencia verde en la figura). Por otro lado, \begin{align*} \angle BRO=\angle XDR&=\angle ADB=180^\circ-\angle ABC-\angle BAD\\ &=180^\circ-\angle ABC-\angle BAC+\angle CAX=\angle BCA+\angle CAX. \end{align*} Por lo tanto, $\angle PRB+\angle BRO=90^\circ-\angle ABC+\angle BCA$ es igual a $90^\circ$ si y sólo si $\angle ABC=\angle BCA$, es decir, cuando $AB=AC$.