Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La perpendicular por $X$ al lado $BC$ corta a este en un punto $R$ de forma que $P,Q,R$ están alineados (recta de Simpson del triángulo $ABC$, en rojo en la figura), es decir, $R$ es el punto de corte de $PQ$ y $BC$. El punto $R$ también se encuentra en la circunferencia de diámetro $XD$ (en azul en la figura) por ser $\angle DRX=90^\circ$. La recta $PQ$ es tangente a esta circunferencia si y sólo si es perpendicular al radio $OR$, siendo $OR$ su centro. Equivalentemente, será tangente cuando $\angle PRB+\angle BRO=90^\circ$. Vamos a calcular estos dos ángulos en función de los ángulos de $ABC$.

Por un lado, tenemos que \[\angle PRB=\angle PXB=90^\circ-\angle PBX=90^\circ-\angle ABC-\angle CBX=90^\circ-\angle ABC-\angle CAX,\] donde hemos usado que los cuadriláteros $ABXC$ y $BPRX$ son cíclicos ($BPRX$ es cíclico por ser $\angle BPX=\angle BRX=90^\circ$, ver circunferencia verde en la figura). Por otro lado, \begin{align*} \angle BRO=\angle XDR&=\angle ADB=180^\circ-\angle ABC-\angle BAD\\ &=180^\circ-\angle ABC-\angle BAC+\angle CAX=\angle BCA+\angle CAX. \end{align*} Por lo tanto, $\angle PRB+\angle BRO=90^\circ-\angle ABC+\angle BCA$ es igual a $90^\circ$ si y sólo si $\angle ABC=\angle BCA$, es decir, cuando $AB=AC$.

Solución. Sean $x$, $y$, $z$ y $w$ las longitudes de los segmentos que tienen a $P$ por extremo común y el otro extremo en $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente, siendo perpendiculares a estos lados. En otras palabras, $x$, $y$, $z$ y $w$ son las distancias de $P$ a los lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, respectivamente. El teorema de Pitágoras nos asegura que \begin{eqnarray*} PA^2&=&w^2+x^2,\\ PB^2&=&x^2+y^2,\\ PC^2&=&y^2+z^2,\\ PD^2&=&z^2+w^2.\\ \end{eqnarray*} Sumando convenientemente estas igualdades, deducimos que \[PA^2+PC^2=x^2+y^2+z^2+w^2=PB^2+PD^2,\] que es la igualdad que se pretende demostrar.

Solución. Llamemos $x$ e $y$ a las longitudes de lados del rectángulo, con lo que tendremos que $A=xy$ y $p=2(x+y)$. Entonces se cumple que \[p^2-16A=4(x+y)^2-16xy=4(x^2+y^2-2xy)=4(x-y)^2\geq 0,\] de donde se deduce la desigualdad del enunciado. Además, para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $4(x-y)^2=0$, es decir, $x=y$. Por tanto, podemos decir que la igualdad se tiene si y sólo si el rectángulo es un cuadrado.