Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $\gamma$ la circunferencia circunscrita al triágulo acutángulo $ABC$. Sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$. La paralela por $P$ a la recta $AB$ corta a $BC$, $AC$ y $\gamma$ en los puntos $R$, $S$ y $T$, respectivamente. Se definen los puntos $K$ y $L$ como las intersecciones de $AP$ con $BT$ y $BS$ con $AR$. Demostrar que la recta $KL$ pasa por el punto medio de $AB$ si y solo si $CS=PR$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. La bisectriz del ángulo $A$ corta a $BC$ en $D$, a $\Gamma$ en $K$ (distinto de $A$) y a la tangente a $\Gamma$ por $B$ en $X$. Demostrar que $K$ es el punto medio de $AX$ si y solo si \[\frac{AD}{DC}=\sqrt{2}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y $M$ el punto medio del lado $AB$. La circunferencia que pasa por $D$ y es tangente al lado $AB$ en $A$ corta al segmento $DM$ en $E$. La circunferencia que pasa por $C$ y es tangente al lado $AB$ en $B$ corta al segmento $CM$ en $F$. Supongamos que las rectas $AF$ y $BE$ se cortan en un punto que pertenece a la mediatriz del lado $AB$. Demostrar que $A$, $E$ y $C$ están alineados si y solo si $B$, $F$ y $D$ están alineados.

Se marcan los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ sobre una recta, en ese orden, con $AB$ y $CD$ mayores a $BC$. Se construyen los triángulos equiláteros $APB$, $BCQ$ y $CDR$, con $P$, $Q$ y $R$ en el mismo lado respecto a $AD$. Si $\angle PQR = 120^\circ$, demostrar que \[\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{BC}.\]

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$ inscrito en una circunferencia de centro $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$. Una circunferencia por $O$ y $P$ corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que $BF=DG$.