Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos circunferencias se cortan en los puntos $P$ y $Q$ y $A$ es un punto arbitrario de una de las circunferencias. Las rectas $AP$ y $AQ$ cortan a la otra circunferencia en $B$ y $C$, respectivamente.

1. Probar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ es igual a la distancia entre los centros de los dos círculos.
2. Hallar el lugar geométrico del centro de dicha circunferencia circunscrita al mover $A$ en la circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Determinar el punto $P$ del lado $BC$ que minimiza el área de la intersección de los círculos circunscritos a los triángulos $ABP$ y $ACP$.

Dos cuadrados, uno con sus lados pintados de azul y otro con sus lados pintados de rojo, se cortan para formar un octógono con lados alternadamente rojos y azules. Demostrar que la suma de las longitudes de los lados rojos del octógono es igual a la suma de las longitudes de sus lados azules.

Un cubo $ABCDA_1B_1C_1D_1$ tiene arista unidad. Hallar la distancia entre la circunferencia inscrita en la cara $ABCD$ y la circunferencia circunscrita al triángulo $AB_1C$.

En un pentágono regular de lado $1$ se eliminan todos los puntos que estén a distancia menor que $1$ de todos los vértices. Determinar el área de la región que queda.