Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$ inscrito en una circunferencia de centro $O$. Sea $P$ la intersección de las rectas $BC$ y $AD$. Una circunferencia por $O$ y $P$ corta a los segmentos $BC$ y $AD$ en los puntos $F$ y $G$, respectivamente. Demostrar que $BF=DG$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la paralela a $AB$ por $C$ con la perpendicular a $AD$ por $A$. Demostrar que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB\lt CD$ y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R$. Sean $S$ y $T$ los puntos donde las tangentes desde $P$ a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ tocan a dicha circunferencia.

1. Probar que $PQ=PR$.
2. Probar que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ el punto simétrico de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ corta a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Probar que $CN = 2AL$.

Sean $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se escoge un punto $P$ sobre el segmento $BC$ (distinto de $B$) de tal forma que $AB=AP$. Sean $D$ la intersección de $AC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $A$ y $E$ la intersección de $PM$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $P$. Sea $K$ el corte entre las rectas $AP$ y $DE$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$, demostrar que $C,D,E,F$ están en una misma circunferencia.