Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una circunferencia de radio $R$ pasa por $A$ y $B$. otra circunferencia del mismo radio $R$ que pasa por $B$ y $D$ corta a la primera en los puntos $B$ y $M$. Demostrar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $AMD$ es también $R$.

Los puntos $A,B,C,D,E,F$ se encuentran sobre una circunferencia en ese orden y de forma que $AB=BC=CD=DE=EF$, siendo $AF$ un diámetro de la circunferencia. Si $O$ denota al centro de la circunferencia, supongamos que las rectas $OC$ y $OD$ cortan a $BE$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $MN+CD=OA$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo y consideremos el pentágono $A'B'C'D'E'$ tal que $B$ es el punto medio de $AA'$, $C$ es el punto medio de $BB'$, $D$ es el punto medio de $CC'$, $E$ es el punto medio de $DD'$ y $A$ es el punto medio de $EE'$. A partir de este nuevo pentágono, mostrar cómo se puede recuperar el pentágono original utilizando únicamente regla y compás.

Sean $r$ una recta y $O$ un punto en el plano que no pertenece a $r$. Demostrar que es posible mover un punto cualquiera $A$ en el plano hasta el punto $O$ usando únicamente rotaciones con centro en $O$ y simetrías axiales respecto de $r$.

Se trazan dos perpendiculares desde el punto medio de cada lado de un triángulo acutángulo a los otros dos lados. Demostrar que el área del hexágono formado por estas seis rectas es la mitad del área del triángulo original.