Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AC=2AB$. Sea $D$ el punto de intersección de la bisectriz del ángulo $\angle CAB$ con $BC$. Sea $F$ el punto de intersección de la paralela a $AB$ por $C$ con la perpendicular a $AD$ por $A$. Demostrar que $FD$ pasa por el punto medio de $AC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con $AB\lt CD$ y sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $BC$. La circunferencia circunscrita del triángulo $PCD$ corta a la recta $AB$ en los puntos $Q$ y $R$. Sean $S$ y $T$ los puntos donde las tangentes desde $P$ a la circunferencia circunscrita de $ABCD$ tocan a dicha circunferencia.

1. Probar que $PQ=PR$.
2. Probar que $QRST$ es un cuadrilátero cíclico.

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ el punto simétrico de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ corta a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Probar que $CN = 2AL$.

Sean $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se escoge un punto $P$ sobre el segmento $BC$ (distinto de $B$) de tal forma que $AB=AP$. Sean $D$ la intersección de $AC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $A$ y $E$ la intersección de $PM$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $P$. Sea $K$ el corte entre las rectas $AP$ y $DE$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$, demostrar que $C,D,E,F$ están en una misma circunferencia.

Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto sobre $AB$ tal que $CD$ es paralela a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ y $F$ la intersección de $BC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ distinta de $C$. Finalmente, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ y la bisectriz interior del ángulo $\angle DCF$. Demostrar que $E,G,F,C$ están sobre una misma circunferencia.