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Problema 2780
OMCC, 2025-P1
Sea $ABCD$ un cuadrado, $O$ su centro y $M$ el punto medio de $AB$. Sea $E$ el segundo punto de intersección de la recta $OA$ con la circunferencia que pasa por $M$, $O$ y $D$. Sea $F$ la intersección de la recta $EM$ con la recta que pasa por $O$ y es paralela a $AB$. Demostrar que $C,D,E,F$ son concíclicos.
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Problema 2779
Sea $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y circunferencia circunscrita
$\Gamma$. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de tangencia su circunferencia inscrita con $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sea $R$ el punto de $EF$ tal que $DR$ es una altura del triángulo $DEF$ y sea $S$ el punto de corte
de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con $\Gamma$. Probar que $AR$ y $SD$ se cortan sobre $\Gamma$.
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Problema 2774
En el cuadrilátero $ABCD$ se sabe que $\angle BAD=100^\circ$, $\angle BCD=130^\circ$ y que $AB=AD=1$. Determinar la longitud de la diagonal $AC$.
pistasolución 1info
Pista. Fíjate en que se pueden construir muchos cuadriláteros con esas medidas pero que $AC$ no va a depender de cuál de ellos se elija.
Solución. Consideremos la circunferencia $\Gamma$ de centro $A$ de radio $1$ (que pasa por $B$ y $D$). El segmento $BD$ tiene un ángulo central de $100^\circ$, luego un ángulo inscrito en $\Gamma$ cuyos extremos $B$ y $D$ tiene ángulo $50^\circ$ o $130^\circ$, dependiendo si está en el arco menor $BD$ o en el arco mayor. Como $\angle BCD=130^\circ$, se deduce así que $C$ está en el arco menor $BD$ y en particular en $\Gamma$. Por lo tanto, $AC=1$.
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Problema 2773
Sea $I$ el incentro de un triángulo $ABC$ en el que los tres lados tienen longitudes distintas. La recta $AI$ corta de nuevo a la circunferencia circunscrita al triángulo $ABC$ en el punto $D$. La circunferencia que pasa por los puntos $C$, $D$ e $I$ corta nuevamente a la recta $BI$ en el punto $K$. Demostrar que el triángulo $BKC$ es isósceles.
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Problema 2766
APMO, 2000-P3
Sea $ABC$ un triángulo. La mediana y la bisectriz que pasan por el vértice $A$ cortan al lado $BC$ en $M$ y $N$, respectivamente. La perpendicular a $NA$ por $N$ corta a $MA$ y $BA$ en los puntos $Q$ y $P$, respectivamente, y sea $O$ el punto en el que la perpendicular a $BA$ por $P$ corta a $AN$. Demostrar que $QO$ y $BC$ son perpendiculares.
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