Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sean $T$ el punto diametralmente opuesto a $C$ y $T'$ el punto simétrico de $T$ con respecto a la recta $AB$. La recta $BT'$ corta a $\omega$ en un segundo punto $R$. La recta perpendicular a $TC$ que pasa por $O$ corta a la recta $AC$ en $L$. Sea $N$ el punto de intersección de las rectas $TR$ y $AC$. Probar que $CN = 2AL$.

Sean $ABC$ un triángulo con $AB\lt AC$ y $M$ el punto medio de $AC$. Se escoge un punto $P$ sobre el segmento $BC$ (distinto de $B$) de tal forma que $AB=AP$. Sean $D$ la intersección de $AC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $A$ y $E$ la intersección de $PM$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABP$ diferente de $P$. Sea $K$ el corte entre las rectas $AP$ y $DE$. Si $F$ es un punto sobre $BC$ (distinto de $P$) tal que $KP=KF$, demostrar que $C,D,E,F$ están en una misma circunferencia.

Sean $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto sobre $AB$ tal que $CD$ es paralela a la recta tangente a $\Gamma$ en $A$. Sean $E$ la intersección de $CD$ con $\Gamma$ distinta de $C$ y $F$ la intersección de $BC$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ADC$ distinta de $C$. Finalmente, sea $G$ la intersección de la recta $AB$ y la bisectriz interior del ángulo $\angle DCF$. Demostrar que $E,G,F,C$ están sobre una misma circunferencia.

Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $\ell$ la tangente a $\Gamma$ por el punto $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y cortan a $\ell$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $DC$ y $EB$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Probar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se cortan en $AD$.