Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo y consideremos el pentágono $A'B'C'D'E'$ tal que $B$ es el punto medio de $AA'$, $C$ es el punto medio de $BB'$, $D$ es el punto medio de $CC'$, $E$ es el punto medio de $DD'$ y $A$ es el punto medio de $EE'$. A partir de este nuevo pentágono, mostrar cómo se puede recuperar el pentágono original utilizando únicamente regla y compás.

Sean $r$ una recta y $O$ un punto en el plano que no pertenece a $r$. Demostrar que es posible mover un punto cualquiera $A$ en el plano hasta el punto $O$ usando únicamente rotaciones con centro en $O$ y simetrías axiales respecto de $r$.

Se trazan dos perpendiculares desde el punto medio de cada lado de un triángulo acutángulo a los otros dos lados. Demostrar que el área del hexágono formado por estas seis rectas es la mitad del área del triángulo original.

Demostrar que cualquier sección de un cubo que pase por el centro tiene área mayor o igual que el área de una de sus caras.

Sean $C_1,C_2,C_3$ tres circunferencias de radios $r_1,r_2,r_3$, respectivamente, que no se cortan ni hay ninguna en el interior de otra. Supongamos que $r_1$ es mayor que $r_2$ y $r_3$, que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_2$ se cortan en el punto $A$ y que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_3$ se cortan en el punto $B$. Las dos tangentes desde $A$ a $C_3$ y desde $B$ a $C_2$ forman un cuadrilátero. Demostrar que este admite una circunferencia inscrita y hallar su radio.