Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se trazan dos perpendiculares desde el punto medio de cada lado de un triángulo acutángulo a los otros dos lados. Demostrar que el área del hexágono formado por estas seis rectas es la mitad del área del triángulo original.

Demostrar que cualquier sección de un cubo que pase por el centro tiene área mayor o igual que el área de una de sus caras.

Sean $C_1,C_2,C_3$ tres circunferencias de radios $r_1,r_2,r_3$, respectivamente, que no se cortan ni hay ninguna en el interior de otra. Supongamos que $r_1$ es mayor que $r_2$ y $r_3$, que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_2$ se cortan en el punto $A$ y que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_3$ se cortan en el punto $B$. Las dos tangentes desde $A$ a $C_3$ y desde $B$ a $C_2$ forman un cuadrilátero. Demostrar que este admite una circunferencia inscrita y hallar su radio.

El centro de una moneda de radio $r$ se mueve a lo largo de un polígono con perímetro $p$ que admite una circunferencia inscrita de radio $R\gt r$. Hallar el área de la región que barre la moneda en su movimiento.

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto del plano tal que las rectas $PA,PB,PC$ cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A_1,B_1,C_1$ y el triángulo $A_1B_1C_1$ es congruente con $ABC$. Demostrar que a lo sumo hay ocho puntos $P$ del plano con esta propiedad.