Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos cuadrados, uno con sus lados pintados de azul y otro con sus lados pintados de rojo, se cortan para formar un octógono con lados alternadamente rojos y azules. Demostrar que la suma de las longitudes de los lados rojos del octógono es igual a la suma de las longitudes de sus lados azules.

Un cubo $ABCDA_1B_1C_1D_1$ tiene arista unidad. Hallar la distancia entre la circunferencia inscrita en la cara $ABCD$ y la circunferencia circunscrita al triángulo $AB_1C$.

En un pentágono regular de lado $1$ se eliminan todos los puntos que estén a distancia menor que $1$ de todos los vértices. Determinar el área de la región que queda.

Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una circunferencia de radio $R$ pasa por $A$ y $B$. otra circunferencia del mismo radio $R$ que pasa por $B$ y $D$ corta a la primera en los puntos $B$ y $M$. Demostrar que el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo $AMD$ es también $R$.

Los puntos $A,B,C,D,E,F$ se encuentran sobre una circunferencia en ese orden y de forma que $AB=BC=CD=DE=EF$, siendo $AF$ un diámetro de la circunferencia. Si $O$ denota al centro de la circunferencia, supongamos que las rectas $OC$ y $OD$ cortan a $BE$ en $M$ y $N$, respectivamente. Demostrar que $MN+CD=OA$.