Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $ABC$ un triángulo, $\Gamma$ su circunferencia circunscrita y $\ell$ la tangente a $\Gamma$ por el punto $A$. Las alturas desde $B$ y $C$ se extienden y cortan a $\ell$ en $D$ y $E$, respectivamente. Las líneas $DC$ y $EB$ cortan de nuevo a $\Gamma$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que el triángulo $APQ$ es isósceles.

Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ su circuncírculo. Sean $D$ el pie de la altura trazada desde $A$, $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $AC$, respectivamente, y $Q$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto a $A$. Sea $E$ el punto medio de $DQ$. Probar que las perpendiculares a $EM$ y $EN$ que pasan por $M$ y $N$ respectivamente, se cortan en $AD$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $D$, $E$ y $F$ los pies de las alturas desde $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Sean $Y$ y $Z$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ sobre $FD$ y $DE$, respectivamente. Sea $F_1$ el punto simétrico de $F$ con respecto a $E$ y sea $E_1$ el punto simétrico de $E$ con respecto a $F$. Si $3EF=FD+DE$, demostrar que $\angle BZF_1=\angle CYE_1$.

Sean $ABC$ un triángulo escaleno, $D$ el pie de la altura desde $A$, $E$ la intersección del lado $AC$ con la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ y $F$ un punto sobre el lado $AB$. Sea $O$ el circuncentro del triángulo $ABC$ y sean $X$, $Y$ y $Z$ los puntos donde se cortan las rectas $AD$ con $BE$, $BE$ con $CF$ y $CF$ con $AD$, respectivamente. Si $XYZ$ es un triángulo equilátero, demostrar que uno de los triángulos $OXY$, $OYZ$ u $OZX$ es también equilátero.

Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ círculos que son tangentes interiormente en un punto $A$ con centros $O$ y $O_1$ y radios $r$ y $r_1$, respectivamente, con $r\gt r_1$. Sea $B$ el punto diametralmente opuesto a $A$ en $\Gamma$ y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en un punto $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Si $O_1A'$ es paralela a $AP$, encontrar la razón $\frac{r}{r_1}$.