Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demostrar que cualquier sección de un cubo que pase por el centro tiene área mayor o igual que el área de una de sus caras.

Sean $C_1,C_2,C_3$ tres circunferencias de radios $r_1,r_2,r_3$, respectivamente, que no se cortan ni hay ninguna en el interior de otra. Supongamos que $r_1$ es mayor que $r_2$ y $r_3$, que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_2$ se cortan en el punto $A$ y que las dos tangentes comunes exteriores a $C_1$ y $C_3$ se cortan en el punto $B$. Las dos tangentes desde $A$ a $C_3$ y desde $B$ a $C_2$ forman un cuadrilátero. Demostrar que este admite una circunferencia inscrita y hallar su radio.

El centro de una moneda de radio $r$ se mueve a lo largo de un polígono con perímetro $p$ que admite una circunferencia inscrita de radio $R\gt r$. Hallar el área de la región que barre la moneda en su movimiento.

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto del plano tal que las rectas $PA,PB,PC$ cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A_1,B_1,C_1$ y el triángulo $A_1B_1C_1$ es congruente con $ABC$. Demostrar que a lo sumo hay ocho puntos $P$ del plano con esta propiedad.

La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en lso puntos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente. Los segmentos $AI,BI,CI$ cortan a dicha circunferencia en los puntos $A_2,B_2,C_2$, respectivamente, donde $I$ denota el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que las rectas $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ son concurrentes.