Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

El centro de una moneda de radio $r$ se mueve a lo largo de un polígono con perímetro $p$ que admite una circunferencia inscrita de radio $R\gt r$. Hallar el área de la región que barre la moneda en su movimiento.

Sea $ABC$ un triángulo y $P$ un punto del plano tal que las rectas $PA,PB,PC$ cortan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A_1,B_1,C_1$ y el triángulo $A_1B_1C_1$ es congruente con $ABC$. Demostrar que a lo sumo hay ocho puntos $P$ del plano con esta propiedad.

La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en lso puntos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente. Los segmentos $AI,BI,CI$ cortan a dicha circunferencia en los puntos $A_2,B_2,C_2$, respectivamente, donde $I$ denota el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que las rectas $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ son concurrentes.

Consideremos dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$, en los que los vértices se han etiquetado en sentido contrario a la agujas del reloj. Consideremos puntos $O,A,B,C$ en el plano tales que \[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{A_1A_2},\qquad\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{B_1B_2},\qquad\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{C_1C_2}.\] Demostrar que el triángulo $ABC$ es equilátero.

Sean $D,E,F$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Sean $d_0,d_1,d_2,d_3$ las longitudes de los lados más largos de los triángulos $DEF,AFE,BDF,CDE$, respectivamente. Demostrar que \[d_0\geq \tfrac{\sqrt{3}}{2}\min\{d_1,d_2,d_3\}.\] Analizar en qué casos se obtiene una igualdad.