Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La circunferencia inscrita de un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en lso puntos $A_1,B_1,C_1$, respectivamente. Los segmentos $AI,BI,CI$ cortan a dicha circunferencia en los puntos $A_2,B_2,C_2$, respectivamente, donde $I$ denota el incentro del triángulo $ABC$. Demostrar que las rectas $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ son concurrentes.

Consideremos dos triángulos equiláteros $A_1B_1C_1$ y $A_2B_2C_2$, en los que los vértices se han etiquetado en sentido contrario a la agujas del reloj. Consideremos puntos $O,A,B,C$ en el plano tales que \[\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{A_1A_2},\qquad\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{B_1B_2},\qquad\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{C_1C_2}.\] Demostrar que el triángulo $ABC$ es equilátero.

Sean $D,E,F$ puntos interiores de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Sean $d_0,d_1,d_2,d_3$ las longitudes de los lados más largos de los triángulos $DEF,AFE,BDF,CDE$, respectivamente. Demostrar que \[d_0\geq \tfrac{\sqrt{3}}{2}\min\{d_1,d_2,d_3\}.\] Analizar en qué casos se obtiene una igualdad.

Dado un punto $O$ en el interior de un triángulo $ABC$, demostrar que \[S_A\cdot\overrightarrow{OA}+S_B\cdot\overrightarrow{OB}+S_C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\] siendo $S_A,S_B,S_C$ las áreas de los triángulos $BOC,COA,AOB$, respectivamente.

Nota. Como es usual, $\overrightarrow{PQ}$ es el vector de origen $P$ y extremo $Q$ y $\overrightarrow{0}$ es el vector nulo.

Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Los segmentos $AA_1,BB_1,CC_1$ dividen a $ABC$ en cuatro triángulos y tres cuadriláteros más pequeños. Si los cuatro triángulos tienen la misma área, demostrar que los cuadriláteros también tienen la misma área. ¿Cuál es la razón entre el área de los cuadriláteros y la de los triángulos?