Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo y sean $L,M,N$ los puntos medios de $BC,CA,AB$, respectivamente. La recta tangente en $A$ a la circunferencia circunscrita de $ABC$ corta a $LM$ y $LN$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Demostrar que $CP$ es paralela a $BQ$.

Dado un triángulo acutángulo y escaleno $ABC$, sean $H$ su ortocentro, $O$ su circuncentro y $E$ y $F$ los pies de las alturas trazadas desde $B$ y $C$, respectivamente. La recta $AO$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo de nuevo en el punto $G$ y a los segmentos $FE$ y $BC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Sea $Z$ el punto de interseccion de la recta $AH$ y la recta tangente a la circunferencia circunscrita en $G$. Probar que $HX$ es paralelo a $YZ$.

Dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideres una circunferencia $\Gamma$ que es tangente interior a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sea $C$ uno de los puntos de intersección de la recta $AB$ y $\Gamma$, sea $F$ la intersección de la recta $EC$ y $\Gamma_2$ y sea $G$ la intersección de la recta $DC$ y $\Gamma_1$. Sean $H$ e $I$ los puntos de intersección de la recta $ED$ con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, respectivamente. Demostrar que $F,G,H,I$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideremos dos puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $BPQC$ es un cuadrilátero cíclico. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ corta a $BC$ en $B$ y en otro punto $R$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $APC$ corta a $BC$ en $C$ y en otro punto $S$. Las rectas $PR$ y $QS$ se cortan en el punto $L$. Demostrar que la intersección de $AL$ y $BC$ no depende de la elección de $P$ y $Q$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia de centro $O$ y tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia. Se construyen paralelogramos $DAOE$ y $BCOF$. Demostrar que si $E$ y $F$ están en la circunferencia, entonces $ABCD$ es un rectángulo.