Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Demostrar que los circuncentros de los triángulos $IAB$, $IBC$ e $ICA$ están sobre un círculo cuyo centro es el circuncentro de $ABC$.

Sea $M$ el punto medio del segmento $XY$. Los puntos $P$ y $Q$ están en una recta que pasa por $Y$ de forma que $Y$ queda entre $P$ y $Q$ en dicha recta y además $XQ=2MP$ y $\frac{1}{2}XY\lt MP\lt \frac{3}{2}XY$. Hallar el valor de $\frac{PY}{QY}$ para el que $PQ$ es mínimo.

Los pies de las bisectrices de un triángulo $ABC$ son los vértices de un triángulo rectángulo con ángulo recto en $X$, el pie de la bisectriz del ángulo $A$. Encontrar todos los valores posibles del ángulo $A$.

Se consideran dos circunferencias distintas $K_1$ y $K_2$ en el plano que se cortan en los puntos $A$ y $B$, siendo $AB$ un diámetro de $K_1$, y un punto $P$ de $K_2$ que queda en el interior de $K_1$. Construir, usando únicamente una escuadra, dos puntos $C$ y $D$ en $K_1$ tales que $CD$ es perpendicular a $AB$ y $\angle CPD$ es recto.

Nota. Aquí se entiende que una escuadra permite únicamente trazar una recta uniendo dos puntos y la perpendicular a una recta que pasa por un punto.

Sean $P,A,B,C,D$ cinco puntos distintos en el espacios tales que \[\angle APB=\angle BPC=\angle CPD=\angle DPA=\theta,\] donde $\theta$ es un ángulo agudo dado. Determinar el mayor y menor valor posible de $\angle APC+\angle BPD$ en función de $\theta$.