Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dos circunferencias $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Consideres una circunferencia $\Gamma$ que es tangente interior a $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sea $C$ uno de los puntos de intersección de la recta $AB$ y $\Gamma$, sea $F$ la intersección de la recta $EC$ y $\Gamma_2$ y sea $G$ la intersección de la recta $DC$ y $\Gamma_1$. Sean $H$ e $I$ los puntos de intersección de la recta $ED$ con $\Gamma_1$ y $\Gamma_2$, respectivamente. Demostrar que $F,G,H,I$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Consideremos dos puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $BPQC$ es un cuadrilátero cíclico. La circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ corta a $BC$ en $B$ y en otro punto $R$ y la circunferencia circunscrita del triángulo $APC$ corta a $BC$ en $C$ y en otro punto $S$. Las rectas $PR$ y $QS$ se cortan en el punto $L$. Demostrar que la intersección de $AL$ y $BC$ no depende de la elección de $P$ y $Q$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo inscrito en una circunferencia de centro $O$ y tal que $AC$ es un diámetro de la circunferencia. Se construyen paralelogramos $DAOE$ y $BCOF$. Demostrar que si $E$ y $F$ están en la circunferencia, entonces $ABCD$ es un rectángulo.

Sea $P$ un punto en el exterior de una circunferencia centrada en un punto $O$. Se trazan rectas que pasan por $P$ y son tangentes a la circunferencia en $A$ y $B$. Sea $Q$ el punto de intersección de $PO$ y $AB$ y sea $CD$ cualquier cuerda de la circunferencia que pase por $Q$. Demostrar que los triángulos $PAB$ y $PCD$ tienen el mismo incentro.

Sea $ABCD$ un rectángulo de área $2$. Dado un punto $P$ en el lado $CD$, sea $Q$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $PAB$ es tangente al lado $AB$. El producto $PA\cdot PB$ varía al variar el rectángulo $ABCD$ y el punto $P$ y supondremos que estamos en una configuración en la que este producto alcanza su valor mínimo.

1. Demostrar que $AB\geq 2BC$.
2. Encontrar el valor de $AQ\cdot BQ$.