Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Los puntos $A_1,B_1,C_1,D_1$ y $A_2,B_2,C_2,D_2$ son las proyecciones ortogonales de los vértices de un tetraedro $ABCD$ sobre dos planos. Demostrar que es posible mover uno de los planos para que las rectas $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ y $D_1D_2$ sean paralelas.

Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ en el triángulo $ABC$ y sean $E$ y $F$ puntos en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. Demostrar que el área del triángulo $DEF$ no es mayor que la suma de las áreas de los triángulos $ADE$ y $BDF$.

Tres discos son tangentes exteriormente en los puntos $X,Y,Z$. Si se multiplican sus radios por $2\sqrt{3}$ mientras que sus centros quedan inalterados, demostrar que el triángulo $XYZ$ queda completamente cubierto por los nuevos discos.

Sea $ABC$ un triángulo que no es isósceles ni rectángulo. Sean $O$ el circuncentro de $ABC$ y $A_1,B_1,C_1$ los puntos medios de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente. El punto $A_2$ se encuentra en la semirrecta $OA_1$ de forma que los triángulos $OAA_1$ y $OA_2A$ son semejantes; de la misma forma, se definen los puntos $B_2$ y $C_2$ en las semirrectas $OB_1$ y $OC_1$, respectivamente. Demostrar que las rectas $AA_2,BB_2,CC_2$ son concurrentes.

Un hexágono convexo $ABCDEF$ está inscrito en una circunferencia y cumple que $AB=CD=EF$ y que las diagonales $AD,BE,CF$ son concurrentes. Sea $P$ la intersección de $AD$ y $CE$. Demostrar que \[\frac{CP}{PE}=\left(\frac{AC}{CE}\right)^2.\]