Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P$ un punto en el exterior de una circunferencia centrada en un punto $O$. Se trazan rectas que pasan por $P$ y son tangentes a la circunferencia en $A$ y $B$. Sea $Q$ el punto de intersección de $PO$ y $AB$ y sea $CD$ cualquier cuerda de la circunferencia que pase por $Q$. Demostrar que los triángulos $PAB$ y $PCD$ tienen el mismo incentro.

Sea $ABCD$ un rectángulo de área $2$. Dado un punto $P$ en el lado $CD$, sea $Q$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $PAB$ es tangente al lado $AB$. El producto $PA\cdot PB$ varía al variar el rectángulo $ABCD$ y el punto $P$ y supondremos que estamos en una configuración en la que este producto alcanza su valor mínimo.

1. Demostrar que $AB\geq 2BC$.
2. Encontrar el valor de $AQ\cdot BQ$.

Sea $ABC$ un triángulo con $AC\gt AB$ y denotamos su circunferencia circunscrita por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de intersección de la circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos más cortos $DF$ y $DE$ de la circunferencia inscrita, respectivamente, tales que $\angle BXD=\angle DYC$. Las rectas $XY$ y $BC$ se cortan en $K$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $\Omega$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demostrar que las rectas $TD$ y $AI$ se cortan en $\Omega$.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Omega$. Se denota por $S_b$ y $S_c$ los puntos medios de los arcos $AC$ y $AB$ de $\Omega$ que no contienen el tercer vértice del triángulo, respectivamente. Sea $N_a$ el punto medio del arco $BAC$ (el arco $BC$ que contiene a $A$). Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que es tangente a $AB$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_b$, y sea $\omega_c$ la circunferencia que es tangente a $AC$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_c$. Probar que la recta $IN_a$ y la recta que pasa por las intersecciones de $\omega_b$ y $\omega_c$ se cortan en un punto de $\Omega$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ el punto sobre su circunferencia circunscrita tal que $AD$ es un diámetro. Se escogen puntos $K$ y $L$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DK$ y $DL$ son tangentes al círculo $AKL$. Demostrar que la recta $KL$ pasa por el ortocentro de $ABC$.