Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABC$ un triángulo con $AC\gt AB$ y denotamos su circunferencia circunscrita por $\Omega$ y su incentro por $I$. Sean $D$, $E$ y $F$ los puntos de intersección de la circunferencia inscrita con los lados $BC$, $CA$ y $AB$, respectivamente. Sean $X$ e $Y$ dos puntos en los arcos más cortos $DF$ y $DE$ de la circunferencia inscrita, respectivamente, tales que $\angle BXD=\angle DYC$. Las rectas $XY$ y $BC$ se cortan en $K$. Sea $T$ el punto en $\Omega$ tal que $KT$ es tangente a $\Omega$ y $T$ está en el mismo lado de la recta $BC$ que $A$. Demostrar que las rectas $TD$ y $AI$ se cortan en $\Omega$.

Sea $ABC$ un triángulo con circunferencia circunscrita $\Omega$. Se denota por $S_b$ y $S_c$ los puntos medios de los arcos $AC$ y $AB$ de $\Omega$ que no contienen el tercer vértice del triángulo, respectivamente. Sea $N_a$ el punto medio del arco $BAC$ (el arco $BC$ que contiene a $A$). Sea $I$ el incentro de $ABC$. Sea $\omega_b$ la circunferencia que es tangente a $AB$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_b$, y sea $\omega_c$ la circunferencia que es tangente a $AC$ y tangente internamente a $\Omega$ en $S_c$. Probar que la recta $IN_a$ y la recta que pasa por las intersecciones de $\omega_b$ y $\omega_c$ se cortan en un punto de $\Omega$.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sea $D$ el punto sobre su circunferencia circunscrita tal que $AD$ es un diámetro. Se escogen puntos $K$ y $L$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $DK$ y $DL$ son tangentes al círculo $AKL$. Demostrar que la recta $KL$ pasa por el ortocentro de $ABC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$ y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Supongamos además que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Demostrar que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC\lt AB$ y $BC\lt AC$. Consideremos los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P\neq B$, $Q\neq C$ y $BQ=BC=CP$. Sean $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Probar que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.