Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un punto $O$ en el interior de un triángulo $ABC$, demostrar que \[S_A\cdot\overrightarrow{OA}+S_B\cdot\overrightarrow{OB}+S_C\cdot\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\] siendo $S_A,S_B,S_C$ las áreas de los triángulos $BOC,COA,AOB$, respectivamente.

Nota. Como es usual, $\overrightarrow{PQ}$ es el vector de origen $P$ y extremo $Q$ y $\overrightarrow{0}$ es el vector nulo.

Se eligen puntos $A_1,B_1,C_1$ en el interior de los lados $BC,CA,AB$, respectivamente, de un triángulo $ABC$. Los segmentos $AA_1,BB_1,CC_1$ dividen a $ABC$ en cuatro triángulos y tres cuadriláteros más pequeños. Si los cuatro triángulos tienen la misma área, demostrar que los cuadriláteros también tienen la misma área. ¿Cuál es la razón entre el área de los cuadriláteros y la de los triángulos?

Los puntos $A_1,B_1,C_1,D_1$ y $A_2,B_2,C_2,D_2$ son las proyecciones ortogonales de los vértices de un tetraedro $ABCD$ sobre dos planos. Demostrar que es posible mover uno de los planos para que las rectas $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ y $D_1D_2$ sean paralelas.

Sea $D$ el punto medio del lado $AB$ en el triángulo $ABC$ y sean $E$ y $F$ puntos en los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. Demostrar que el área del triángulo $DEF$ no es mayor que la suma de las áreas de los triángulos $ADE$ y $BDF$.

Tres discos son tangentes exteriormente en los puntos $X,Y,Z$. Si se multiplican sus radios por $2\sqrt{3}$ mientras que sus centros quedan inalterados, demostrar que el triángulo $XYZ$ queda completamente cubierto por los nuevos discos.