Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O$. Sea $X$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle DAB$ y $\angle ABC$; sea $Y$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ABC$ y $\angle BCD$; sea $Z$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle BCD$ y $\angle CDA$ y sea $W$ el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle CDA$ y $\angle DAB$. Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $BD$. Supongamos además que los puntos $O$, $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ son distintos. Demostrar que $O$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia si y sólo si $P$, $X$, $Y$, $Z$ y $W$ están sobre una misma circunferencia.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $BC\lt AB$ y $BC\lt AC$. Consideremos los puntos $P$ y $Q$ en los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, tales que $P\neq B$, $Q\neq C$ y $BQ=BC=CP$. Sean $T$ el circuncentro del triángulo $APQ$, $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $S$ el punto de intersección de las rectas $BQ$ y $CP$. Probar que los puntos $T$, $H$ y $S$ están en una misma recta.

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y sea $D$ un punto arbitrario en el lado $BC$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $BI$ interseca a $CI$ en el punto $E$. La recta que pasa por $D$ y es perpendicular a $CI$ interseca a $BI$ en el punto $F$. Demostrar que el punto simétrico de $A$ respecto de la recta $EF$ está en la recta $BC$.

Sea $ABC$ un triángulo con ángulo obtuso en $A$. Sean $E$ y $F$ las intersecciones de la bisectriz exterior del ángulo $\angle BAC$ con las alturas del triángulo $ABC$ desde $B$ y $C$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ puntos en los segmentos $EC$ y $FB$, respectivamente, tales que $\angle EMA = \angle BCA$ y $\angle ANF = \angle ABC$. Demostrar que los puntos $E$, $F$, $M$ y $N$ están sobre una misma circunferencia.

Consideremos el triángulo $ABC$ con $\angle BCA\gt 90^\circ$. Sea $R$ el radio del circuncírculo $\Gamma$ de $ABC$. En el segmento $AB$ existe un punto $P$ con $PB=PC$ y tal que la longitud de $PA$ es igual a $R$. La mediatriz de $PB$ corta a $\Gamma$ en los puntos $D$ y $E$. Demostrar que $P$ es el incentro del triángulo $CDE$.