Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Según el teorema del resto, que $P(x)$ da resto $a$ cuando se divide por $x-a$ es lo mismo que decir que $P(a)=a$. De la misma manera, se tiene que $P(b)=b$ y $P(c)=c$. Ahora bien, al dividir entre $(x-a)(x-b)(x-c)$, podemos escribir \[P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)C(x)+R(x),\] donde $C(x)$ es el cociente y $R(x)$ el resto, que tiene grado menor o igual que $2$. Evaluando en $a$, $b$ y $c$, llegamos a que $a=P(a)=R(a)$, $b=P(b)=R(b)$ y $c=P(c)=R(c)$. Por lo tanto, $R(x)-x$ es un polinomio de grado menor o igual que $2$ que se anula en tres puntos ($x=a$, $x=b$ y $x=c$). Tiene que ser $R(x)-x=0$, luego el resto que nos piden es $R(x)=x$.

Solución. Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las tres raíces de la ecuación y supongamos que $\beta+\gamma=4$, con lo que podemos factorizar el polinomio como \begin{align*}(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)&=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\\ &=x^3-(\alpha+4)x^2+(4\alpha+\beta\gamma)x-\alpha\beta\gamma \end{align*} Identificando esta expresión con el polinomio del enunciado, del término en $x^2$ obtenemos que $\alpha=499$, del término en $x$ que $a+4=1996+\beta\gamma$ (luego $\beta\gamma=a-1992$) y del término independiente que $a=499\beta\gamma=499a-499\cdot 1992$. Esta última ecuación tiene solución $a=1996$ (¡el año!).