Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Supongamos que $\{q_0,q_1,q_2,\ldots\}$ es una sucesión infinita de enteros que cumplen las siguientes dos condiciones:

1. $m-n$ divide a $q_m-q_n$ para todo $m\gt n\geq 0$,
2. existe un polinomio $P$ tal que $|q_n|\lt P(n)$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que existe un polinomio $Q$ tal que $q_n=Q(n)$ para todo $n\geq 0$.

Sea $P(z)$ un polinomio con coeficientes complejos de grado $1992$ cuyas raíces son todas distintas. Demostrar que existen números complejos $a_1,a_2,\ldots,a_{1992}$ tales que $P(z)$ divide al polinomio \[\Bigl(\Bigl(\cdots\bigl((z-a_1)^2-a_2\bigr)^2\ldots\Bigr)^2-a_{1991}\Bigr)^2-a_{1992}.\]

Sea $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+c_2z^{n-2}+\ldots+c_n$ un polinomio con coeficientes reales $c_k$ y con variable compleja $z$. Supongamos que $|P(i)|\lt 1$. Demostrar que existen números reales $a$ y $b$ tales que $P(a+bi)=0$ y $(a^2+b^2+1)^2\lt 4b^2+1$.

Consideremos el polinomio \[p(x)=(1-x)^{a_1}(1-x^2)^{a_2}(1-x^3)^{a_3}\cdots(1-x^{32})^{a_{32}},\] donde $a_1,a_2,\ldots,a_{32}$ son enteros no negativos. Al expandir y multiplicar todas esas potencias, el coeficiente de $x$ es $-2$ y los coeficientes de $x^2,x^3,\ldots,x^{32}$ son todos $0$. Determinar el valor de $a_{32}$.

El polinomio cúbico $x^3+ax^2+bx+c$ tiene coeficientes reales y tres raíces reales $r\geq s\geq t$. Demostrar que $k=a^2-3b\geq 0$ y que $\sqrt{k}\leq r-t$.