Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$ y $b$ enteros tales que las dos raíces del polinomio $x^2+ax+b+1$ son enteros positivos. Demostrar que $a^2+b^2$ es un número compuesto

Determinar el número máximo de enteros $n$ que satisfacen la desigualdad $|an^2+bn+c|\lt 50$ sabiendo que $a,b,c$ son números reales tales que $a\gt 100$.

Una profesora escribió en la pizarra $x^2+10x+20$ y todos los alumnos de la clase, por turnos, le sumaron o restaron $1$ al término independiente o al coeficiente de $x$, pero no a ambos, llegando al resultado $x^2+20x+10$. ¿Se puede asegurar que durante el proceso hubo un polinomio cuadrado perfecto con raíces enteras?

Dada una ecuación cuadrática $ax^2+bx+c=0$, si tiene dos soluciones reales $A\leq B$, la podemos transformar en la ecuación $x^2+Ax+B=0$ y repetir el proceso. Demostrar que este proceso no puede repetirse indefinidamente pues llegamos en algún momento a una ecuación sin raíces reales. ¿Cuál es el número máximo posible de transformaciones hasta encontrar dicha ecuación sin raíces?

Supongamos que $\{q_0,q_1,q_2,\ldots\}$ es una sucesión infinita de enteros que cumplen las siguientes dos condiciones:

1. $m-n$ divide a $q_m-q_n$ para todo $m\gt n\geq 0$,
2. existe un polinomio $P$ tal que $|q_n|\lt P(n)$ para todo $n\geq 0$.

Demostrar que existe un polinomio $Q$ tal que $q_n=Q(n)$ para todo $n\geq 0$.