Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 2356
ASU, 1982-P21
- ¿Existen polinomios $p(x),q(x),r(x)$ tales que \[p(x-y+z)^3+q(y-z-1)^3+r(z-2x+1)^3=1\] para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$?
- ¿Existen polinomios $p(x),q(x),r(x)$ tales que \[p(x-y+z)^3+q(y-z-1)^3+r(z-x+1)^3=1\] para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$?
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Problema 2317
Hallar todas las raíces reales de la ecuación
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=0\,\]
sabiendo que son cuatro números reales distintos y que dos de ellos suman $2$.
pistasolución 1info
Pista. Con la información que nos dan, el polinomio se debe factorizar como
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=9(x^2+ax+b)(x^2-2x+c).\]
Solución. Agrupando las dos raíces que tienen suma dos, podemos factorizar el polinomio como
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=9(x^2+ax+b)(x^2-2x+c)\]
para ciertos números reales $a,b,c\in\mathbb{R}$. El coeficiente del término de grado $3$ del miembro de la derecha es $9(a-2)$ y tiene que coincidir con el de la derecha $-24$, luego obtenemos $a=\frac{-2}{3}$. Los coeficientes de grado $1$ y $2$ nos dan las ecuaciones $18b+6c=-58$ y $9b+9c=-35$, que tienen soluciones $b=\frac{-26}{9}$ y $c=-1$. Por lo tanto, nos queda la factorización
\[9x^4-24x^3-23x^2+58x+26=(9x^2-6x-26)(x^2-2x-1).\]
Igualando ambos factores a cero y resolviendo las ecuaciones cuadráticas obtenemos las cuatro raíces del polinomio original:
\[x_1=\tfrac{1}{3}+\sqrt{3},\qquad x_2=\tfrac{1}{3}-\sqrt{3},\qquad x_3=1+\sqrt{2},\qquad x_4=1-\sqrt{2}.\]
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Problema 2308
Sea $q(x)$ un polinomio de grado $2023$ que cumple que $q(n)=\frac{1}{n}$ para todo entero $n=1,2,\ldots,2024$. Hallar el valor de $q(2025)$.
pistasolución 1info
Pista. Considera el polinomio $p(x)=xq(x)-1$.
Solución. Consideremos el polinomio $p(x)=x\,q(x)-1$, que tiene grado $2024$ y cumple que $p(n)=0$ para $n=1,2,\ldots, 2024$. En particular, como conocemos sus $2024$ raíces, podremos escribir
\[p(x)=x\,q(x)-1=a(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2024).\]
Evaluando esta igualdad en $x=0$, llegamos a que $p(0)=-1=2024! a$, luego obtenemos que $a=\frac{-1}{2024!}$ y tenemos ya completamente determinado $p(x)$. Ahora solamente hay que evaluar en $x=2025$, obteniendo
\[p(2025)=2025\,q(2025)-1=\frac{-(2025-1)(2025-2)(2025-3)\cdots(2025-2024)}{2024!}=-1.\]
Despejamos fácilmente $q(2025)=0$ y hemos terminado.
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Problema 2231
ASU, 1977-P17
Un polinomio se dice que es mónico si su coeficiente líder es $1$ y dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ se dice que conmutan si $p(q(x))=q(p(x))$.
- Encontrar todos los polinomios mónicos de grado $3$ que conmutan con $x^2-k$.
- Dado un polinomio mónico $p(x)$ y un entero positivo $n$, demostrar que hay a lo sumo un polinomio mónico de grado $n$ que conmuta con $p(x)^2$.
- Encontar los polinomios del apartado (b) para $n=4$ y $n=8$.
- Si $q(x)$ y $r(x)$ son polinomios mónicos y ambos conmutan con $p(x)^2$, demostrar que $q(x)$ y $r(x)$ conmutan a su vez.
- Demostrar que hay una sucesión de polinomios $p_2(x),p_3(x),\ldots$ tales que $p_2(x)=x^2-2$, $p_n(x)$ tiene grado $n$ para todo $n\geq 2$ y $p_i(x)$ conmuta con $p_j(x)$ para todo $i,j\geq 2$.
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Problema 2156
OMCC, 2016-P3
El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encontrar números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute
cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, que si $r,s,t$ son las raíces de $Q$ (en cierto orden), entonces $P(r) = s$, $P(s) = t$ y $P(t) = r$.
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