Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que las tres raíces $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ son racionales y lleguemos a una contradicción. Si expresamos cada una como una fracción irreducible, sus numeradores tienen que dividir a $d$ y sus denominadores a $a$, lo que nos lleva a que dichos numeradores y denominadores son impares (porque $a$ y $d$ son impares al serlo $ad$). Por otro lado, las relaciones de Cardano nos aseguran que $\frac{b}{a}=\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3$ y $\frac{c}{a}=-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3$ y, si nos fijamos en que $\alpha_1\alpha_2+\alpha_2\alpha_3+\alpha_1\alpha_3$ y $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ son suma de tres fracciones con el numerador y el denominador impares (y, por tanto, su numerador y denominador son impares), llegamos a que $b$ y $c$ tienen que ser impares, contradiciendo que $bc$ es un número par.

Solución. Si tomamos el polinomio $Q(x)=xP(x-1)$, el enunciado se escribe como $Q(x)=Q(x+1)$ para todo $x$. Como $Q(0)=0$, se tiene que $Q(n)=0$ para todo $n\in\mathbb{N}$ y, por tanto, $Q$ es idénticamente nulo (no puede tener infinitas raíces salvo que sea nulo). Esto nos lleva a que $xP(x-1)$ es idénticamente nulo y, en consecuencia, $P(x)=0$ es el único polinomio que cumple la condición del enunciado.