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Problema 2308
OME Local, 2025-P2
Sea $q(x)$ un polinomio de grado $2023$ que cumple que $q(n)=\frac{1}{n}$ para todo entero $n=1,2,\ldots,2024$. Hallar el valor de $q(2025)$.
pistasolución 1info
Pista. Considera el polinomio $p(x)=xq(x)-1$.
Solución. Consideremos el polinomio $p(x)=x\,q(x)-1$, que tiene grado $2024$ y cumple que $p(n)=0$ para $n=1,2,\ldots, 2024$. En particular, como conocemos sus $2024$ raíces, podremos escribir \[p(x)=x\,q(x)-1=a(x-1)(x-2)(x-3)\cdots(x-2024).\] Evaluando esta igualdad en $x=0$, llegamos a que $p(0)=-1=2024! a$, luego obtenemos que $a=\frac{-1}{2024!}$ y tenemos ya completamente determinado $p(x)$. Ahora solamente hay que evaluar en $x=2025$, obteniendo \[p(2025)=2025\,q(2025)-1=\frac{-(2025-1)(2025-2)(2025-3)\cdots(2025-2024)}{2024!}=-1.\] Despejamos fácilmente $q(2025)=0$ y hemos terminado.
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Problema 2231
ASU, 1977-P17
Un polinomio se dice que es mónico si su coeficiente líder es $1$ y dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ se dice que conmutan si $p(q(x))=q(p(x))$.
  1. Encontrar todos los polinomios mónicos de grado $3$ que conmutan con $x^2-k$.
  2. Dado un polinomio mónico $p(x)$ y un entero positivo $n$, demostrar que hay a lo sumo un polinomio mónico de grado $n$ que conmuta con $p(x)^2$.
  3. Encontar los polinomios del apartado (b) para $n=4$ y $n=8$.
  4. Si $q(x)$ y $r(x)$ son polinomios mónicos y ambos conmutan con $p(x)^2$, demostrar que $q(x)$ y $r(x)$ conmutan a su vez.
  5. Demostrar que hay una sucesión de polinomios $p_2(x),p_3(x),\ldots$ tales que $p_2(x)=x^2-2$, $p_n(x)$ tiene grado $n$ para todo $n\geq 2$ y $p_i(x)$ conmuta con $p_j(x)$ para todo $i,j\geq 2$.
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Problema 2156
OMCC, 2016-P3
El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encontrar números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, que si $r,s,t$ son las raíces de $Q$ (en cierto orden), entonces $P(r) = s$, $P(s) = t$ y $P(t) = r$.
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Problema 2140
OMCC, 2013-P6
Determine todas las parejas de polinomios no constantes $p(x)$ y $q(x)$, cada uno con coeficiente principal $1$, grado $n$ y $n$ raíces enteras no negativas, tales que \[p(x)-q(x)=1.\]
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Problema 2121
OMCC, 2018-P5
Sea $n$ un número entero tal que $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1,2,\ldots,n$, se define el polinomio \[S_i(x)=x^2-2018x+\ell_i,\] donde $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\ldots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los números $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ es mayor o igual que $2018$.
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