Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Si $p,q,r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es también un número racional no nulo, demostrar que \[\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}\] es también racional.

Encontrar un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales tal que \[(x+10)p(2x)=(8x-32)p(x+6)\] para todo número real $x$ y $p(1)=210$.

Hallar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(0),P(1),P(2),\ldots, P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.

En la pizarra está escrita la ecuación \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2) · · · (x-2016)\] que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\gt 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Consideremos el polinomio $Q(x)=P(P(\cdots P(P(x))\cdots))$, donde $P$ aparece $k$ veces. Demostrar que hay a lo sumo $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.