Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En la pizarra está escrita la ecuación \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2) · · · (x-2016)\] que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\gt 1$ con coeficientes enteros y sea $k$ un entero positivo. Consideremos el polinomio $Q(x)=P(P(\cdots P(P(x))\cdots))$, donde $P$ aparece $k$ veces. Demostrar que hay a lo sumo $n$ enteros $t$ tales que $Q(t)=t$.

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la igualdad \[P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)\] para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca=0$.

Sea $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ para cierto entero $n\gt 1$. Demostrar que $f(x)$ no se puede expresar como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Dado un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, denotamos por $w(P)$ el número de coeficientes impares de $P$. Para cada entero $i\geq 0$, definimos $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demostrar que, para cualesquiera enteros $0\leq i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$, se cumple que \[w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\geq w(Q_{i_1}).\]