Olimpiadas de Matemáticas
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Encontrar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales que satisfacen la igualdad \[P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2P(a+b+c)\] para todos los números reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca=0$.

Sea $f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ para cierto entero $n\gt 1$. Demostrar que $f(x)$ no se puede expresar como el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Dado un polinomio $P(x)$ con coeficientes enteros, denotamos por $w(P)$ el número de coeficientes impares de $P$. Para cada entero $i\geq 0$, definimos $Q_i(x)=(1+x)^i$. Demostrar que, para cualesquiera enteros $0\leq i_1\lt i_2\lt\ldots\lt i_n$, se cumple que \[w(Q_{i_1}+Q_{i_2}+\ldots+Q_{i_n})\geq w(Q_{i_1}).\]

Consideremos la sucesión de polinomios definida por $P_1(x)=x^2-2$ y $P_j(x)=P_1(P_{j-1}(x))$ para todo $j\geq 2$. Demostrar que para todo entero positivo $n$, las raíces de la ecuación $P_n(x)$ son reales y distintas.

Encontrar todos los polinomios $P(x,y)$ de dos variables que cumplen simultáneamente las siguientes tres propiedades:

• Existe un entero $n\gt 0$ tal que $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$ para todo $x,y,t\in\mathbb{R}$.
• $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)$ para todo $a,b,c\in\mathbb{R}$.
• $P(1,0)=1$.