Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un polinomio se dice que es mónico si su coeficiente líder es $1$ y dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$ se dice que conmutan si $p(q(x))=q(p(x))$.

1. Encontrar todos los polinomios mónicos de grado $3$ que conmutan con $x^2-k$.
2. Dado un polinomio mónico $p(x)$ y un entero positivo $n$, demostrar que hay a lo sumo un polinomio mónico de grado $n$ que conmuta con $p(x)^2$.
3. Encontar los polinomios del apartado (b) para $n=4$ y $n=8$.
4. Si $q(x)$ y $r(x)$ son polinomios mónicos y ambos conmutan con $p(x)^2$, demostrar que $q(x)$ y $r(x)$ conmutan a su vez.
5. Demostrar que hay una sucesión de polinomios $p_2(x),p_3(x),\ldots$ tales que $p_2(x)=x^2-2$, $p_n(x)$ tiene grado $n$ para todo $n\geq 2$ y $p_i(x)$ conmuta con $p_j(x)$ para todo $i,j\geq 2$.

El polinomio $Q(x)=x^3-21x+35$ tiene tres raíces reales diferentes. Encontrar números reales $a$ y $b$ tales que el polinomio $P(x)=x^2+ax+b$ permute cíclicamente las raíces de $Q$, es decir, que si $r,s,t$ son las raíces de $Q$ (en cierto orden), entonces $P(r) = s$, $P(s) = t$ y $P(t) = r$.

Determine todas las parejas de polinomios no constantes $p(x)$ y $q(x)$, cada uno con coeficiente principal $1$, grado $n$ y $n$ raíces enteras no negativas, tales que \[p(x)-q(x)=1.\]

Sea $n$ un número entero tal que $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1,2,\ldots,n$, se define el polinomio \[S_i(x)=x^2-2018x+\ell_i,\] donde $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\ldots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los números $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ es mayor o igual que $2018$.

Si $p,q,r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es también un número racional no nulo, demostrar que \[\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}\] es también racional.