Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $P(z)=z^n+c_1z^{n-1}+c_2z^{n-2}+\ldots+c_n$ un polinomio con coeficientes reales $c_k$ y con variable compleja $z$. Supongamos que $|P(i)|\lt 1$. Demostrar que existen números reales $a$ y $b$ tales que $P(a+bi)=0$ y $(a^2+b^2+1)^2\lt 4b^2+1$.

Consideremos el polinomio \[p(x)=(1-x)^{a_1}(1-x^2)^{a_2}(1-x^3)^{a_3}\cdots(1-x^{32})^{a_{32}},\] donde $a_1,a_2,\ldots,a_{32}$ son enteros no negativos. Al expandir y multiplicar todas esas potencias, el coeficiente de $x$ es $-2$ y los coeficientes de $x^2,x^3,\ldots,x^{32}$ son todos $0$. Determinar el valor de $a_{32}$.

El polinomio cúbico $x^3+ax^2+bx+c$ tiene coeficientes reales y tres raíces reales $r\geq s\geq t$. Demostrar que $k=a^2-3b\geq 0$ y que $\sqrt{k}\leq r-t$.

Sea $X$ el menor conjunto de polinomios $p(x)$ tal que

• $p(x)=x$ pertenence a $X$,
• Si $r(x)$ pertenece a $X$, entonces tanto $x\cdot r(x)$ como $(x+(1-x)r(x))$ pertenecen a $X$.

Demostrar que si $r(x)$ y $s(x)$ son elementos distintos de $X$, entonces $r(x)\neq s(x)$ para todo $0\lt x\lt 1$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $3n$ tal que \begin{align*} P(0)=P(3)=\ldots&=P(3n)=2,\\ P(1)=P(4)=\ldots&=P(3n-2)=1,\\ P(2)=P(5)=\ldots&=P(3n-1)=0\\ \end{align*} y $P(3n+1)=730$. Determinar el valor de $n$.