Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $n$ un número entero tal que $1\lt n\lt 2018$. Para cada $i=1,2,\ldots,n$, se define el polinomio \[S_i(x)=x^2-2018x+\ell_i,\] donde $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\ldots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demostrar que al menos uno de los números $\ell_1,\ell_2,\ldots,\ell_n$ es mayor o igual que $2018$.

Si $p,q,r$ son números racionales no nulos tales que $\sqrt[3]{pq^2}+\sqrt[3]{qr^2}+\sqrt[3]{rp^2}$ es también un número racional no nulo, demostrar que \[\frac{1}{\sqrt[3]{pq^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{qr^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{rp^2}}\] es también racional.

Encontrar un polinomio $p(x)$ con coeficientes reales tal que \[(x+10)p(2x)=(8x-32)p(x+6)\] para todo número real $x$ y $p(1)=210$.

Hallar todos los enteros positivos $d$ para los cuales existe un polinomio $P$ de grado $d$ con coeficientes reales tal que $P(0),P(1),P(2),\ldots, P(d^2-d)$ son a lo sumo $d$ valores distintos.

En la pizarra está escrita la ecuación \[(x-1)(x-2)\cdots(x-2016)=(x-1)(x-2) · · · (x-2016)\] que tiene $2016$ factores lineales en cada lado. Determinar el menor valor posible de $k$ para el cual pueden borrarse exactamente $k$ de estos $4032$ factores lineales, de modo que al menos quede un factor en cada lado y la ecuación que resulte no tenga soluciones reales.