Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Si al primer polinomio le restamos el doble del segundo obtenemos el polinomio \[-5(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\] que también debe tener las mismas raíces comunes a los polinomios originales. Haciendo la división de cada uno de los polinomios dados dentre $x^4-6x^3-x^2+30x+25$, obtenemos que \begin{align*} 2 x^5 - 13 x^4 + 4 x^3 + 61 x^2 + 20 x - 25&=(2x-1)(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\\ x^5 - 4 x^4 - 13 x^3 + 28 x^2 + 85 x + 50&=(x+2)(x^4-6x^3-x^2+30x+25) \end{align*} Como se trata de dos raíces dobles, deducimos además $x^4-6x^3-x^2+30x+25$ debe ser un polinomio cuadrado perfecto, luego expresamos \[x^4-6x^3-x^2+30x+25=(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2,\] de donde obtenemos que $a=-3$ y $b=-5$ sin más que comparar coeficientes. Como el polinomio $x^2-3x-5$ tiene raíces $\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{29})$, deducimos que estas son las dos raíces dobles comunes a los polinomios originales, mientras que la quinta raíz del primer polinomio es $\frac{1}{2}$ y la quinta raíz del segundo polinomio es $-2$.

Solución. La desigualdad $P(x)\leq P(x)^2$ no es cierta para todos los polinomios (un contraejemplo es $P(x)=x$ ya que se tiene que $x\leq x^2$ únicamente si $x\geq 1$ o $x\leq 0$). La segunda desigualdad sí que es cierta puesto que el polinomio $z^2-z+1=(z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$ es positivo para todo $z\in\mathbb{R}$, en particular para $z=P(x)$. La tercera desigualdad también es cierta puesto que el polinomio $z^2-2z+1=(z-1)^2$ es mayor o igual que $0$, en particular para $z=P(x)$.

En cuanto al apartado (b), vamos a utilizar la desigualdad $|z|\leq \frac{1+z^2}{2}$, que se deduce de la misma forma que en la tercera desigualdad del apartado (a). Podemos escribir los dos polinomios como $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ y $Q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n$ (si son de distinto grado, completamos con sumandos cero). La desigualdad triangular nos dice que \begin{align*} |P(x)|&=\left|\sum_{k=0}^na_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|a_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|a_k|}{2^k}(1+x^2)^k,\\ |Q(x)|&=\left|\sum_{k=0}^nb_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|b_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|b_k|}{2^k}(1+x^2)^k. \end{align*} Por tanto, si definimos el polinomio \[M(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\max\{|a_k|,|b_k|\}}{2^k}(1+x^2)^k,\] se cumple que $|P(x)|\leq M(x)$ y $|Q(x)|\leq M(x)$, que es lo que queríamos.

Nota. Hay muchas formas de hacer la estimación del valor absoluto del polinomio. Una forma mucho más eficiente consiste, en lugar de escribir $|x|^k\leq\frac{1}{2^k}(1+x^2)^k$, dejar las potencias pares $|x|^{2j}=x^{2j}$ y en las impares hacer $|x|^{2j+1}=x^{2j}|x|\leq\frac{1}{2}x^{2j}(1+x^2)$. Esto garantiza que el grado de $M$ es a lo sumo una unidad más que el grado máximo de $P$ y $Q$. Este es el grado óptimo ya que en general $M$ tiene que ser de grado par de forma que tienda a $+\infty$ tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.