Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 1350
OMCC, 2020-P5
Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes reales no negativos. Dado un entero positivo $k$, sean $x_1,x_2,\ldots,x_k$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_k=1$. Demostrar que
\[P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_k)\geq k P(1).\]
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Problema 1315
USAMO, 1977-P3
Si $a$ y $b$ son dos de las raíces de $x^4+x^3-1=0$, demostrar que su producto $ab$ es una raíz de $x^6+x^4+x^3-x^2-1=0$.
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Problema 1313
USAMO, 1977-P1
Hallar todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que el polinomio $1+x^n+x^{2n}+\ldots+x^{mn}$ es divisible por $1+x+x^2+\ldots+x^m$.
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Problema 1307
USAMO, 1975-P3
Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n$ tal que $P(x)=\frac{k}{k+1}$ para todo $k=0,1,2,\ldots,n$. Hallar el valor de $P(n+1)$.
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Problema 1150
Un polinomio $p(x)$ tiene coeficientes enteros y, para cierto entero $a$, se
verifica \[p(a) = p(a+1) = p(a+2) = 1.\] ¿Existe algún entero $k$ tal que $p(k) = 8$?
pistasolución 1info
Pista. Utiliza el hecho de que $x-y$ divide a $p(x)-p(y)$ para cualesquiera enteros $x$ e $y$.
Solución. Utilizaremos la propiedad de que $x-y$ divide a $p(x)-p(y)$ para cualesquiera números enteros $x$ e $y$ por tener $p(x)$ coeficientes enteros. Razonaremos que no puede existir el entero $k$ por reducción al absurdo suponiendo que sí que existe.
Tomando $x=k$ e $y=a$, esta propiedad nos dice que $k-a$ divide a $p(k)-p(a)=7$, luego $k-a$ tiene que ser igual a $\pm 1$ o $\pm 7$, los factores enteros de $7$. Análogamente, para $x=k$ e $y=a+1$, se tiene que $k-a-1$ divide a $p(k)-p(a+1)=7$, luego $k-a-1$ tiene que ser igual a $\pm 1$ o $\pm 7$, esto es, $k-a$ tiene que ser igual a $-6$, $0$, $2$ u $8$, lo cual es absurdo (tenía que ser $\pm 1$ o $\pm 7$).
Nota. No se ha usado la hipótesis de que $p(a+2)=1$.
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