Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si escribimos \[S=a_1+a_2+\ldots+a_n,\qquad C=a_1^2+a_2^+\ldots+a_n^2,\] entonces la expresión del enunciado no es otra cosa que \[nx^2-2Sx+C=n\left(x-\frac{S}{n}\right)^2+C-\frac{S^2}{n^2}\geq C-\frac{S^2}{n^2},\] ya que el cuadrado es mayor o igual que $0$. Por lo tanto, el valor mínimo se alcanzará cuando el cuadrado sea $0$, es decir, cuando $x=\frac{S}{n}$ sea la media aritmética de los números dados.

Solución. Si al primer polinomio le restamos el doble del segundo obtenemos el polinomio \[-5(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\] que también debe tener las mismas raíces comunes a los polinomios originales. Haciendo la división de cada uno de los polinomios dados dentre $x^4-6x^3-x^2+30x+25$, obtenemos que \begin{align*} 2 x^5 - 13 x^4 + 4 x^3 + 61 x^2 + 20 x - 25&=(2x-1)(x^4-6x^3-x^2+30x+25),\\ x^5 - 4 x^4 - 13 x^3 + 28 x^2 + 85 x + 50&=(x+2)(x^4-6x^3-x^2+30x+25) \end{align*} Como se trata de dos raíces dobles, deducimos además $x^4-6x^3-x^2+30x+25$ debe ser un polinomio cuadrado perfecto, luego expresamos \[x^4-6x^3-x^2+30x+25=(x^2+ax+b)^2=x^4+2ax^3+(a^2+2b)x^2+2abx+b^2,\] de donde obtenemos que $a=-3$ y $b=-5$ sin más que comparar coeficientes. Como el polinomio $x^2-3x-5$ tiene raíces $\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{29})$, deducimos que estas son las dos raíces dobles comunes a los polinomios originales, mientras que la quinta raíz del primer polinomio es $\frac{1}{2}$ y la quinta raíz del segundo polinomio es $-2$.