Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Hay que probar dos implicaciones. La más sencilla consiste en suponer que $a=b=c$, en cuyo caso para cualquier $x\in\mathbb{R}$ se cumple que \[p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=3(x-a)^2\geq 0.\] Recíprocamente, supongamos que $p(x)\geq 0$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Podemos simplificar el polinomio operando todos los paréntesis y luego completar cuadrados para obtener que \begin{align*} p(x)&=x^2-ax-bx+ab+x^2-bx-cx+bc+x^2-cx-ax+ca\\ &=3x^2-2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)\\ &=3\left(x^2-\tfrac{1}{3}(a+b+c)\right)^2-\tfrac{1}{3}(a+b+c)^2+(ab+bc+ca). \end{align*} Por tanto, este polinomio toma su mínimo valor en $x=\frac{1}{3}(a+b+c)$ y esto nos dice que $p(\frac{1}{3}(a+b+c))\geq 0$. De esta manera \begin{align*} 0\leq 3\, p(\tfrac{1}{3}(a+b+c))&=-(a+b+c)^2+3(ab+bc+ca)\\ &=-(a^2+b^2+c^2)-2(ab+bc+ac)+3(ab+bc+ca)\\ &=-(a^2+b^2+c^2)+(ab+bc+ac)\\ &=-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2. \end{align*} La única forma de que se cumpla esta desigualdad es que $a-b=b-c=c-a=0$, es decir, que $a=b=c$, como queríamos demostrar.

Solución. Si $P(x)$ es constante, entonces dicha constante debe ser cero pues en caso contrario el miembro de la izquierda es constante y el de la derecha no. Supongamos entoncds que $P(x)$ no es constante y llamemos $n\geq 1$ a su grado. El miembro de la izquierda tiene grado $nk$ y el de la derecha $n+k$, luego debe ser $nk=n+k$, que se puede reescribir como $(n-1)(k-1)=1$. Esto nos dice que debe ser $n=k=2$ ya que se trata de enteros positivos. Pongamos entonces que $P(x)=ax^2+bx+c$, luego \begin{align*} 0=P(x^2)-P(2x)-x^2P(x)&=(ax^4+bx^2+c)-(4ax^2+2bx+c)-x^2(ax^2+bx+c)\\ &=-x(bx^2+(4a+c-b)x+2b). \end{align*} Para que se dé esta igualdad de polinomios, tiene que ser $b=0$ y $4a+c=0$, lo que nos da todos los polinomios de la forma $P(x)=a(x^2-4)$.

Hemos probado así que tenemos la solución $P(x)=0$, válida para todo $k\geq 1$, y la solución $P(x)=a(x^2-4)$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$, válida solo para $k=2$.

Solución. En el conjunto $A=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}:|x|\gt 1\}$ no puede haber más de una raíz. Para probarlo, como todo polinomio tiene un número finito de raíces, habría una raíz $r$ con valor absoluto mayor o igual que el resto de raíces en $A$; si ahora $s$ es otra raíz, entonces $sr$ también es raíz según el enunciado y tiene valor absoluto $|sr|=|s|\cdot |r|\gt |r|$, contradiciendo que $r$ tiene el valor absoluto máximo. De la misma forma, se prueba que en el conjunto $B=(-1,0)\cup(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:0\lt|x|\lt 1\}$ hay una única solución (en este caso, sólo hay que considerar la de valor absoluto mínimo).

Hemos visto así que hay un máximo de $5$ raíces: una en $A$, otra en $B$ y las otras tres serían $-1$, $0$ y $1$, los tres puntos que no están ni en $A$ ni en $B$. Sin embargo, no pueden ser las raíces a la vez ya que si $-1$ fuera una raíz y hubiera otra raíz $\alpha\in A$, entonces $-\alpha=(-1)\alpha\in A$ sería una raíz distinta en $A$. Deducimos, por tanto, que hay un máximo de $4$ raíces. Un ejemplo que prueba que $4$ es el máximo posible es el polinomio: \[p(x)=x(x-1)(x-2)(x-\tfrac{1}{2}).\]

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces, podemos desarrollar \[(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma,\] e igualar coeficientes para obtener las ecuaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=14,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=B,\qquad \alpha\beta\gamma=84.\] Que las raíces sean lados de un triángulo equilátero nos dice que deben cumplir el teorema de Pitágoras, es decir, que podemos suponer que $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ sin pérdida de generalidad (hay simetría entre las raíces). Calculamos entonces \[2\alpha^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=196-2B,\] de donde deducimos que $\alpha^2=98-B$. Ahora podemos usar la primera y tercera ecuación de Cardano para calcular de otra forma \begin{align*} 98-\alpha^2&=B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=\frac{84}{\alpha}+\alpha(14-\alpha). \end{align*} Esto nos da la ecuación de segundo grado $\alpha^2-7\alpha+6=0$, que tiene soluciones $\alpha=1$ y $\alpha=6$. Sustituyendo $\alpha=1$ en las ecuaciones de Cardano, obtenemos que $\beta+\gamma=13$ y $\beta\gamma=84$, es decir, $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de la ecuación $x^2-13x+84=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones reales. Deducimos que tiene que ser $\alpha=6$, en cuyo caso tenemos el sistema $\beta+\gamma=8$ y $\beta\gamma=14$, luego $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de $x^2-8x+14=0$, lo que nos da números reales positivos $\beta=4+\sqrt{2}$ y $\gamma=4-\sqrt{2}$ (salvo reordenación) que claramente verifican $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$. Podemos finalmente calcular \[B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=14+6\cdot 8=62.\] Deducimos así que $B=62$ es la única solución al problema.