Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. En el conjunto $A=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}:|x|\gt 1\}$ no puede haber más de una raíz. Para probarlo, como todo polinomio tiene un número finito de raíces, habría una raíz $r$ con valor absoluto mayor o igual que el resto de raíces en $A$; si ahora $s$ es otra raíz, entonces $sr$ también es raíz según el enunciado y tiene valor absoluto $|sr|=|s|\cdot |r|\gt |r|$, contradiciendo que $r$ tiene el valor absoluto máximo. De la misma forma, se prueba que en el conjunto $B=(-1,0)\cup(0,1)=\{x\in\mathbb{R}:0\lt|x|\lt 1\}$ hay una única solución (en este caso, sólo hay que considerar la de valor absoluto mínimo).

Hemos visto así que hay un máximo de $5$ raíces: una en $A$, otra en $B$ y las otras tres serían $-1$, $0$ y $1$, los tres puntos que no están ni en $A$ ni en $B$. Sin embargo, no pueden ser las raíces a la vez ya que si $-1$ fuera una raíz y hubiera otra raíz $\alpha\in A$, entonces $-\alpha=(-1)\alpha\in A$ sería una raíz distinta en $A$. Deducimos, por tanto, que hay un máximo de $4$ raíces. Un ejemplo que prueba que $4$ es el máximo posible es el polinomio: \[p(x)=x(x-1)(x-2)(x-\tfrac{1}{2}).\]

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces, podemos desarrollar \[(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma,\] e igualar coeficientes para obtener las ecuaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=14,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=B,\qquad \alpha\beta\gamma=84.\] Que las raíces sean lados de un triángulo equilátero nos dice que deben cumplir el teorema de Pitágoras, es decir, que podemos suponer que $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$ sin pérdida de generalidad (hay simetría entre las raíces). Calculamos entonces \[2\alpha^2=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=196-2B,\] de donde deducimos que $\alpha^2=98-B$. Ahora podemos usar la primera y tercera ecuación de Cardano para calcular de otra forma \begin{align*} 98-\alpha^2&=B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=\frac{84}{\alpha}+\alpha(14-\alpha). \end{align*} Esto nos da la ecuación de segundo grado $\alpha^2-7\alpha+6=0$, que tiene soluciones $\alpha=1$ y $\alpha=6$. Sustituyendo $\alpha=1$ en las ecuaciones de Cardano, obtenemos que $\beta+\gamma=13$ y $\beta\gamma=84$, es decir, $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de la ecuación $x^2-13x+84=0$, pero esta ecuación no tiene soluciones reales. Deducimos que tiene que ser $\alpha=6$, en cuyo caso tenemos el sistema $\beta+\gamma=8$ y $\beta\gamma=14$, luego $\beta$ y $\gamma$ son las soluciones de $x^2-8x+14=0$, lo que nos da números reales positivos $\beta=4+\sqrt{2}$ y $\gamma=4-\sqrt{2}$ (salvo reordenación) que claramente verifican $\alpha^2=\beta^2+\gamma^2$. Podemos finalmente calcular \[B=\beta\gamma+\alpha(\beta+\gamma)=14+6\cdot 8=62.\] Deducimos así que $B=62$ es la única solución al problema.

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que identificando coeficientes obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-25,\qquad\alpha\beta\gamma=a.\] Esto nos permite calcular \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=4+2\cdot 25=54.\] Las raíces son números enteros y las únicas formas de escribir $54$ como suma de tres cuadrados son $49+4+1$, $36+9+9$ y $25+25+4$. Reordenando las raíces si es necesario, distinguimos tres casos:

• Si $\alpha=\pm 7$, $\beta=\pm 2$ y $\gamma=\pm 1$, es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ (el sumando $\alpha=\pm 7$ es demasiado grande en valor absoluto para que sumarle $\beta+\gamma$ lo hagan igual a $2$), luego no hay soluciones en este caso.
• Si $\alpha=\pm 6$, $\beta=\pm 3$ y $\gamma=\pm 3$, también es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ ya que $\alpha+\beta+\gamma$ siempre dará un múltiplo de tres independientemente de los signos elegidos.
• Si $\alpha=\pm 5$, $\beta=\pm 5$ y $\gamma=\pm 2$, entonces la condición $\alpha+\beta+\gamma=2$ fuerza a que $\alpha=5$, $\beta=-5$ y $\gamma=2$ (salvo posiblemente intercambiar $\alpha$ y $\beta$). Tenemos entonces que $\alpha\beta\gamma=5\cdot(-5)\cdot 2=-50$, luego $a=50$ único valor que cumple la condición del enunciado.