Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La desigualdad $P(x)\leq P(x)^2$ no es cierta para todos los polinomios (un contraejemplo es $P(x)=x$ ya que se tiene que $x\leq x^2$ únicamente si $x\geq 1$ o $x\leq 0$). La segunda desigualdad sí que es cierta puesto que el polinomio $z^2-z+1=(z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$ es positivo para todo $z\in\mathbb{R}$, en particular para $z=P(x)$. La tercera desigualdad también es cierta puesto que el polinomio $z^2-2z+1=(z-1)^2$ es mayor o igual que $0$, en particular para $z=P(x)$.

En cuanto al apartado (b), vamos a utilizar la desigualdad $|z|\leq \frac{1+z^2}{2}$, que se deduce de la misma forma que en la tercera desigualdad del apartado (a). Podemos escribir los dos polinomios como $P(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_nx^n$ y $Q(x)=b_0+b_1x+\ldots+b_nx^n$ (si son de distinto grado, completamos con sumandos cero). La desigualdad triangular nos dice que \begin{align*} |P(x)|&=\left|\sum_{k=0}^na_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|a_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|a_k|}{2^k}(1+x^2)^k,\\ |Q(x)|&=\left|\sum_{k=0}^nb_kx^k\right|\leq\sum_{k=0}^n|b_k|\cdot|x|^k\leq\sum_{k=0}^n\frac{|b_k|}{2^k}(1+x^2)^k. \end{align*} Por tanto, si definimos el polinomio \[M(x)=\sum_{k=0}^n\frac{\max\{|a_k|,|b_k|\}}{2^k}(1+x^2)^k,\] se cumple que $|P(x)|\leq M(x)$ y $|Q(x)|\leq M(x)$, que es lo que queríamos.

Nota. Hay muchas formas de hacer la estimación del valor absoluto del polinomio. Una forma mucho más eficiente consiste, en lugar de escribir $|x|^k\leq\frac{1}{2^k}(1+x^2)^k$, dejar las potencias pares $|x|^{2j}=x^{2j}$ y en las impares hacer $|x|^{2j+1}=x^{2j}|x|\leq\frac{1}{2}x^{2j}(1+x^2)$. Esto garantiza que el grado de $M$ es a lo sumo una unidad más que el grado máximo de $P$ y $Q$. Este es el grado óptimo ya que en general $M$ tiene que ser de grado par de forma que tienda a $+\infty$ tanto en $+\infty$ como en $-\infty$.

Solución. Como tenemos una progresión aritmética, podemos escribir \[p_1=h-3d,\qquad q_1=h-d,\qquad p_2=h+d,\qquad q_2=h+3d.\] para ciertos números reales $a,d\in\mathbb{R}$. Podemos entonces factorizar \[ax^2+bx+c=a(x-p_1)(x-p_2)=ax^2-2a(h-d)x+a(h+d)(h-3d)\] y tenemos también (cambiando $a$ por $c$ y $d$ por $-d$): \[cx^2+bx+a=c(x-q_1)(x-q_2)=cx^2-2c(h+d)x+c(h-d)(h+3d).\] Por lo tanto, identificando coeficientes, obtenemos las ecuaciones \[a(h-d)=c(h+d),\qquad a(h+d)(h-3d)=c,\qquad c(h-d)(h+3d)=a.\] Como $a$ y $c$ no son cero (para que los polinomios tengan dos raíces), tenemos que ninguno de los factores anteriores es cero y podemos despejar \[\frac{a}{c}=\frac{h-d}{h+d}=\frac{1}{(h+d)(h-3d)}=(h-d)(h+3d).\qquad (\star)\] De la igualdad entre el segundo y el tercer miembro en $(\star)$, deducimos que $(h-d)(h-3d)=1$ y de la igualdad entre el segundo y el cuarto término tenemos que $(h+d)(h+3d)=1$. Restando estas dos igualdades obtenemos que $hd=0$. No puede ser $d=0$ ya que el enunciado nos requiere que las raíces de los polinomios sean distintas, luego tenemos que $h=0$. La primera igualdad en $(\star)$ nos dice entonces que $\frac{a}{c}=-1$, es decir, $a+c=0$ como queríamos probar.