Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $\alpha$ es una raíz común a ambos polinomios. Restando las igualdades $\alpha^n+a\alpha=2008$ y $\alpha^n+b\alpha=2009$, obtenemos que $(b-a)\alpha=1$, luego solo hay una posible raíz común, que es $\alpha=\frac{1}{b-a}$. Sustituyéndola en la primera ecuación, tenemos que \[\frac{1}{(b-a)^n}+\frac{a}{b-a}=2008\ \Leftrightarrow\ \frac{1}{(b-a)^{n-1}}=2008(b-a)-a=2008b-2009a.\] De aquí deducimos que \[(b-a)^{n-1}(2008b-2009a)=1.\] Al tratarse de números enteros obtenemos que $b-a=\pm 1$ y $2008b-2009a=\pm 1$, aunque habrá que tener en cuenta la paridad del exponente $n-1$. Distingamos casos:

• Si $b-a=1$ y $2008b-2009a=1$, podemos resolver este sistema lineal para llegar a que $a=2007$ y $b=2008$, en cuyo caso se comprueba fácilmente que $x_0=1$ es raíz común a los dos polinomios del enunciado.
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=1$ (siendo $n$ impar), el sistema lineal nos da $a=-2009$ y $b=-2010$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba fácilmente).
• Si $b-a=-1$ y $2008b-2009a=-1$ (siendo $n$ par), el sistema lineal nos da $a=-2007$ y $b=-2008$, en cuyo caso la raíz común es $x_0=-1$ (se comprueba también fácilmente).

Por tanto, respondemos al enunciado diciendo que las soluciones $(a,b)$ para $n$ par son $(2007,2008)$ y $(-2007,-2008)$; si $n$ es impar, las soluciones son $(2007,2008)$ y $(-2009,-2010)$.

Solución. La primera parábola se puede expresar completando el cuadrado como \[y=ax^2+bx+c=\frac{(2ax+b)^2+(4ac-b^2)}{4a},\] de forma que su vértice tiene coordenadas $(x,y)=(\frac{-b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$ ya que este es el punto en el que el cuadrado toma su mínimo valor (cero). De la misma forma, el vértice de la segunda parábola tiene coordenadas $(\frac{-c}{2b},\frac{4ab-c^2}{4b})$, por lo que se tienen que verificar simultáneamente las siguientes dos ecuaciones: \[\frac{-b}{2a}=\frac{-c}{2b},\qquad c-\frac{b^2}{4a}=a-\frac{c^2}{4b}.\qquad(\star)\] La primera ecuación nos dice que $c=\frac{b^2}{a}$, luego podemos sustituir en la segunda para transformarla después de simplificar en \[\frac{b^2}{a}-\frac{b^2}{4a}=a-\frac{b^3}{4a^2}\ \Leftrightarrow\ 4a^3-3ab^2-b^3=0\ \Leftrightarrow\ (b-a)(2a+b)^2=0.\] Como $a\neq b$, deducimos que $b=-2a$, luego $c=\frac{b^2}{a}=4a$. Tenemos así que las parábolas que las ternas que resuelven el problema tienen que ser de la forma $(a,-2a,4a)$ para cualquier $a\neq 0$. Fácilmente se ve que todas estas cumplen las ecuaciones marcadas con $(\star)$.

Solución. Teniendo en cuenta que $x_0^2+a_ix_0+b_i=0$ para todo $i$, podemos sumar estas $n$ igualdades (para $i$ entre $1$ y $n$) y nos queda \[nx_0^2+(a_1+a_2+\ldots+a_n)x_0+(b_1+b_2+\ldots+b_n)=0.\] Dividiendo por $n$, concluimos que $x_0$ también es solución de la ecuación con las medias aritméticas. Para calcular la otra solución, vamos a dividir el polinomio \[P(x)=x^2+\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}x+\frac{b_1+b_2+\ldots+b_n}{n}\] entre $x-x_0$ (esto es muy fácil usando Ruffini), lo que nos da \[P(x)=(x-x_0)(x+\tfrac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}+x_0)\] Si llamemos $x_i$ a la otra solución de la ecuación $x^2+a_ix+b_i=0$ que no es $x_0$, tenemos que $a_i=-(x_0+x_i)$ con lo que la otra raíz de $P(x)$ es \begin{align*} -\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}-x_0&=\frac{x_1+x_0+x_2+x_0+\ldots+x_n+x_0}{n}-x_0\\ &=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}, \end{align*} es decir, la media aritmética de las raíces de las ecuaciones originales.

Solución. El procedimiento es similar al que usamos para hallar el máximo común divisor de dos polinomios. Llamemos $p(x)$ y $q(x)$ a los dos polinomios de tercer grado dados por las ecuaciones. Podemos reducir el grado haciendo \[q(x)-n\,p(x)=-2 m(m^2+m x^2+3 n x).\] Por tanto, la raíz común también tiene que ser raíz de $r(x)=m^2+m x^2+3 n x$ ya que $m\neq 0$. Esta raíz también tiene que ser raíz de \[x\, r(x)-m\,p(x)=n(3x^2+m).\] Como quiera que $n\neq 0$, deducimos que $m$ es negativo y que la raíz común $\alpha$ debe cumplir $3\alpha^2+m=0$. Podemos usar esto para sustituir $m$ en la primera ecuación, que nos queda \[x^3+mx-n=0\ \Longrightarrow\ \alpha^3-3\alpha^3-n=0 \ \Longrightarrow\ n=-2\alpha^3.\] Con esto ya podemos factorizar los dos polinomios: \begin{align*} p(x)&=x^3-3\alpha^2x+2\alpha^3=(x-\alpha)^2(x-2\alpha),\\ q(x)&=-2\alpha^3(x^3+9 \alpha x^2+15 \alpha ^2 x-25 \alpha ^3)=(x-\alpha) (x+5\alpha)^2, \end{align*} La idea para estas factorizaciones es dividir por $\alpha^3$ y ver las ecuaciones $p(x)=0$ y $q(x)=0$ como ecuaciones con incógnita $y=\frac{x}{\alpha}$. Deducimos que la primera ecuación tiene una raíz doble igual a $\alpha$ y la otra raíz igual a $2\alpha$ (es distinta ya que $\alpha\neq 0$). La segunda ecuación tiene a $\alpha$ como raíz simple y a $-5\alpha$ como raíz doble.

Nota. Si $n=0$ y $m\neq 0$, entonces la primera ecuación tiene soluciones $x=0$ y $x=\pm\sqrt{m}$ y la segunda ecuación es de segundo grado y tiene soluciones $x=\pm\sqrt{m}$, por lo que el resultado no es cierto (hay dos raíces comunes). Si $n\neq 0$ y $m=0$, entonces la primera ecuación y la segunda son la misma y tienen como única raíz real común $x=\sqrt[3]{n}$, aunque también comparten las otras dos raíces complejas. En este caso, no es cierto que la primera ecuación tenga dos raíces iguales.