Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $X$ el menor conjunto de polinomios $p(x)$ tal que

• $p(x)=x$ pertenence a $X$,
• Si $r(x)$ pertenece a $X$, entonces tanto $x\cdot r(x)$ como $(x+(1-x)r(x))$ pertenecen a $X$.

Demostrar que si $r(x)$ y $s(x)$ son elementos distintos de $X$, entonces $r(x)\neq s(x)$ para todo $0\lt x\lt 1$.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $3n$ tal que \begin{align*} P(0)=P(3)=\ldots&=P(3n)=2,\\ P(1)=P(4)=\ldots&=P(3n-2)=1,\\ P(2)=P(5)=\ldots&=P(3n-1)=0\\ \end{align*} y $P(3n+1)=730$. Determinar el valor de $n$.

El producto de dos de las cuatro raíces de la ecuación \[x^4-18x^3+kx^2+200x-1984=0\] es $-32$. Hallar el valor de $k$.

Demostrar que las raíces de la ecuación \[x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0\] no pueden ser todas reales si $2a^2\lt 5b$.

Sea $S_r=x^r+y^r+z^r$ con $x,y,z\in\mathbb{R}$. Si $S_1=0$, demostrar que \[\frac{S_{m+n}}{m+n}=\frac{S_m}{m}\frac{S_n}{n}\] cuando $(m,n)$ es alguno de los pares $(2,3)$, $(3,2)$, $(2,5)$ o $(5,2)$. Determinar todos los pares $(m,n)$ para los que la relación anterior se cumple para cualesquiera $x,y,z\in\mathbb{R}$ tales que $S_1=0$.