Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean \[\begin{array}{l} f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_0\\ g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\ldots+c_0 \end{array}\] dos polinomios no nulos con coeficientes reales y tales que $g(x)=(x+r)f(x)$ para cierto número real $r$. Si $a=\max\{|a_n|,\ldots, |a_0|\}$ y $c=\max\{|c_{n+1}|,\ldots, |c_0|\}$, demostrar que $\frac{a}{c}\leq n+1$.

Consideremos el polinomio $p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x$. Si $h$ es una raíz real de $p(x) = 1$ y $k$ es una raíz real de $p(x) = 5$, hallar $h+k$.

La siguiente ecuación con coeficientes indeterminados está escrita en la pizarra: \[x^3+\square x^2+\square x+\square = 0.\] Dos jugadores juegan por turnos, de forma que el primer jugadore elige un número y el segundo jugador lo pone en uno de los cuadrados vacíos. El proceso se repite tres veces hasta que se completan los huecos. ¿Es posible que el primer jugador elija los tres números de forma que se asegure que la ecuación tiene tres raíces enteras distintas, independientemente de lo que haga el segundo jugador?

Dado un entero $n$, hallar el número de polinomios $p(x)$ con coeficientes en el conjunto $\{0,1,2,3\}$ tales que $p(2)=n$.

Sean $a$ y $b$ enteros tales que las dos raíces del polinomio $x^2+ax+b+1$ son enteros positivos. Demostrar que $a^2+b^2$ es un número compuesto